石子合并问题（动归）

转载自：http://www.hnyzsz.net/Article/ShowArticle.asp?ArticleID=735
【石子合并】

在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。

试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

【输入文件】

包含两行，第1 行是正整数n（1<=n<=100），表示有n堆石子。

第2行有n个数，分别表示每堆石子的个数。

【输出文件】

输出两行。

第1 行中的数是最小得分；第2 行中的数是最大得分。

【输入样例】

4

4 4 5 9

【输出样例】

43

54
【分析】

本题初看以为可以使用贪心法解决问题，但是事实上因为有必须相邻两堆才能合并这个条件在，用贪心法就无法保证每次都能取到所有堆中石子数最多的两堆。例如下面这个例子：

6

3 4 6 5 4 2

如果使用贪心法求最小得分，应该是如下的合并步骤：

第一次合并 3 4 6 5 4 2 2,3合并得分是５

第二次合并 5 4 6 5 4 5,4合并得分是9

第三次合并 9 6 5 4 5,4合并得分是9

第四次合并 9 6 9 9,6合并得分是15

第五次合并 15 9 15,9合并得分是24

总得分＝5＋9＋9＋15＋24＝62

但是如果采用如下合并方法，却可以得到比上面得分更少的方法：

第一次合并 3 4 6 5 4 2 3,4合并得分是7

第二次合并 7 6 5 4 2 7,6合并得分是13

第三次合并 13 5 4 2 4,2合并得分是6

第四次合并 13 5 6 5,6合并得分是11

第五次合并 13 11 13,11合并得分是24

总得分＝7＋13＋6＋11＋24＝61

由此我们知道本题是不可以使用贪心法求解的，上例中第五次合并石子数分别为13和11的相邻两堆。 这两堆石头分别由最初 的第1，2，3堆（石头数分别为3，4，6）和第4，5，6堆（石头数分别为5，4，2）经4次合并后形成的。于是问题又归结为如何使得这两个子序列的N－2次合并的得分总和最优。为了实现这一目标，我们将第１个序列又一分为二：第１、２堆构成子序列１，第３堆为子序列２。第一次合并子序列１中的两堆，得分７；第二次再将之与子序列２的一堆合并，得分13。显然对于第１个子序列来说，这样的合并方案是最优的。同样，我们将第２个子序列也一分为二；第４堆为子序列１，第５，６堆构成子序列２。第三次合
并子序列２中的２堆，得分６；第四次再将之与子序列１中的一堆合并，得分13。显然对于第二个子序列来说，这样的合并方案也是最优的。由此得出一个结论──６堆石子经过这样的５次合并后，得分的总和最小。

动态规划思路：

阶段i：石子的每一次合并过程，先两两合并，再三三合并，...最后N堆合并

状态s：每一阶段中各个不同合并方法的石子合并总得分。

决策：把当前阶段的合并方法细分成前一阶段已计算出的方法，选择其中的最优方案

具体来说我们应该定义一个数组s[i,j]用来表示合并方法，i表示从编号为i的石头开始合并，j表示从i开始数j堆进行合并，s[i,j]为合并的最优得分。

对于上面的例子来说，初始阶段就是s[1,1],s[2,1],s[3,1],s[4,1],s[5,1],s[6,1]，因为一开始还没有合并，所以这些值应该全部为0。

第二阶段：两两合并过程如下，其中sum(i,j)表示从i开始数j个数的和

s[1,2]=s[1,1]+s[2,1]+sum(1,2)

s[2,2]=s[2,1]+s[3,1]+sum(2,2)

s[3,2]=s[3,1]+s[4,1]+sum(3,2)

s[4,2]=s[4,1]+s[5,1]+sum(4,2)

s[5,2]=s[5,1]+s[6,1]+sum(5,2)

s[6,2]=s[6,1]+s[1,1]+sum(6,2)

第三阶段：三三合并可以拆成两两合并，拆分方法有两种，前两个为一组或后两个为一组

s[1,3]=s[1,2]+s[3,1]+sum(1,3) 或 s[1,3]=s[1,1]+s[2,2]+sum(1,3)，取其最优

s[2,3]=s[2,2]+s[4,1]+sum(2,3) 或 s[1,3]=s[2,1]+s[3,2]+sum(2,3)，取其最优

.

.

.

第四阶段：四四合并的拆分方法用三种，同理求出三种分法的得分，取其最优即可。以后第五阶段、第六阶段依次类推，最后在第六阶段中找出最优答案即可。

由此得到算法框架如下：
初始化：s[i,1]=0 //以后都不用担心求s[i,j]其中j>i的情况了

For j←2 to n do //枚举阶段，从两两合并开始计算（一一“合并”是初值）

For i←1 to n do //计算当前阶段的n种不同状态的值

For k←1 to j-1 do //枚举不同的分段方法

begin

t←(i+k) mod n

s[i,j] ← min or max{s[i,k]+s[t,j-k]+sum[i,j]} //min求最小合并值，max求最大合并值，sum[i,j]才是解题的关键

end;
注：为什么先j后i，很简单，j表示每个阶段，而i表示每个阶段的很多(每个)状态，必然是先阶段后状态(可参考背包问题)。
另，怎样确定哪个变量表示阶段，哪个变量表示此阶段的状态？答：看变量的可变性，可变性强则是阶段下的很多状态，否则就是阶段。