hihocoder #1068 : RMQ-ST算法 ( RMQ算法 O(nlogn)处理 O(1)查询 *【模板】 1)初始化d数组直接读入+计算k值用数学函数log2()==*节约时间 )
2015-01-21 10:56
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#1068 : RMQ-ST算法
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小Hi和小Ho在美国旅行了相当长的一段时间之后,终于准备要回国啦!而在回国之前,他们准备去超市采购一些当地特产——比如汉堡(大雾)之类的回国。但等到了超市之后,小Hi和小Ho发现者超市拥有的商品种类实在太多了——他们实在看不过来了!于是小Hi决定向小Ho委派一个任务:假设整个货架上从左到右拜访了N种商品,并且依次标号为1到N,每次小Hi都给出一段区间[L, R],小Ho要做的是选出标号在这个区间内的所有商品重量最轻的一种,并且告诉小Hi这个商品的重量,于是他们就可以毫不费劲的买上一大堆东西了——多么可悲的选择困难症患者。
(虽然说每次给出的区间仍然要小Hi来进行决定——但是小Hi最终机智的选择了使用随机数生成这些区间!但是为什么小Hi不直接使用随机数生成购物清单呢?——问那么多做什么!)
提示一:二分法是宇宙至强之法!(真的么?)
提示二:线段树不也是二分法么?
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提示一:二分法是宇宙至强之法!(真的么?)
虽说小Ho身经百战,但是面对这样一个他从来没有接触过的问题也一时挠头——数据范围的N和Q都在10^6这个级别,这就意味着至少需要一个时间复杂度为O(Nlog(N))才能解决这个问题。“如果我对于每个询问都扫描对应的区间,找到最小的值,那么最坏情况和平均情况下都是O(NQ)的时间复杂度,无论数据是不是随即生成的,都不是一个很好的选择。”小Ho如是想道:“这就意味着我需要事先进行一些预处理,使得一些重复计算的东西不再重复计算,才能够将复杂度降低下来。”
小Ho暗自点头,随即想道:“那么如果我对于这整个区间维护一个线段树,维护每棵子树中的最小值,是不是就可以完美解决这个问题了呢?”,于是对小Hi说道:“我觉得线段树可以很好的解决这个问题!。”
“没有错呢~但是相比于线段树来说,我有一个更为容易事先的算法,你想不想听?”小Hi点了点头道。
“更容易实现?就是代码量更小咯?”小Ho作为一个懒病患者自然是很乐意:“快教我!”
“其实你利用线段树也就是这样来减少复杂度的——先预先计算一些区间的最小值,然后把每个询问都拆成若干个计算了最小值的区间,并且统计这些区间的最小值的最小值,从而得出答案的。”小Hi先总结道:“那么其实我可以将统计的区间这样规定——统计所有长度为2的非负整数次幂的区间。”
“整数次幂?也就是长度为1、2、4、8之类的区间咯?”小Ho答道:“我想想……如果我统计的是这些长度的区间的话,用pre_calc[L, Len]表示左边界为L,长度为Len的区间中的最小值——那么对于一个询问[Li, Ri],我只要找到小于这个区间长度的最大的2的非负整数次幂——T,那么这个区间中的最小值就是min{pre_calc[Li, T], pre_calc[Ri-T+1, T]}咯?”
“反应的很快嘛,你看这样对于每一个询问,是不是就可以只用O(1)的时间复杂度就可以作出回答了,而且就只用一条很简单的语句而已。”小Hi笑道。
“但是我还不知道怎么求这些pre_calc啊?”小Ho不禁问道。
“我先问你,对于所有的i满足1<=i<=N, pre_calc[i, 1]是不是很好求?”小Hi反问道。
“唔……是的,pre_calc[i, 1]就是标号为i的物品的重量weight_i。”小Ho答道。
“那么对于,所有的i, j满足1<=i<=N, 1<2^j<=N,pre_calc[i, 2^j]=min{pre_calc[i, 2^(j-1)], pre_calc[i+2^(j-1), 2^(j-1)]}是不是成立的?”小Hi继续问道。
“额……将一个区间,分解成两个一半长度的区间,利用已经求出的值进行计算,非常的合理!”小Ho赞叹道:“甚至于只需要一个二维循环就能够计算出来了。”
“怎么样!是不是比线段树简单许多呢?”小Hi笑道。
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提示二:线段树不也是二分法么?
“那这又是为什么呢……我感觉这两种方法都是二分区间啊。”小Ho生出一个疑问。“这是由于这道题目的性质决定的啦,这个区间上的值都是已经确定的——如果在询问的过程中,这些商品的重量还会发生改变,那么自然就不是我们之前提到的算法——ST算法能够解决的了。”小Hi点出了一个要点。
“原来是这样,等等我还发现这和求的是最值有关,如果求的是和值的话,由于[Li, T]和[Ri-T+1, T]这两段区间可能会有重叠的情况,所以也是无法求解的呢!”小Ho很快也找到了另一个问题。
“是的呢!所以你现在应该知道了把——充分利用题目的特性,就能够很好的减少你编程的复杂度~当然你还要注意到这两种算法的时间复杂度其实是不一样的哦,但是因为这里的N和Q是一个数量级,所以才不会影响到你的解题方法呢。”
“原来是这样!”小Ho点了点头:“那么我去写程序啦!”
Tips:在记录pre_calc[i, 2^j]的时候,不要傻乎乎的就这么存了,事实上只要用pre_calc'[i, j]的格式进行存储就可以了!
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输入
每个测试点(输入文件)有且仅有一组测试数据。每组测试数据的第1行为一个整数N,意义如前文所述。
每组测试数据的第2行为N个整数,分别描述每种商品的重量,其中第i个整数表示标号为i的商品的重量weight_i。
每组测试数据的第3行为一个整数Q,表示小Hi总共询问的次数。
每组测试数据的第N+4~N+Q+3行,每行分别描述一个询问,其中第N+i+3行为两个整数Li, Ri,表示小Hi询问的一个区间[Li, Ri]。
对于100%的数据,满足N<=10^6,Q<=10^6, 1<=Li<=Ri<=N,0<weight_i<=10^4。
输出
对于每组测试数据,对于每个小Hi的询问,按照在输入中出现的顺序,各输出一行,表示查询的结果:标号在区间[Li, Ri]中的所有商品中重量最轻的商品的重量。样例输入
10 7334 1556 8286 1640 2699 4807 8068 981 4120 2179 5 3 4 2 8 2 4 6 8 7 10
样例输出
1640 981 1556 981 981 这是一张d数组处理数据之后的数值存储显示: 代码:
#include <string.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <algorithm> using namespace std; int d[100002][22]; int RMQ(int ll, int rr) { int k = log2(rr - ll + 1); //此函数只能让其返回到一个int变量里,不要直接用, //否则返回的值是错误的 /* 也可以这样写 int k=0; while(1<<(k+1)<=(rr-ll+1)) { k++; } */ //为了节约时间,不建议这样写 return min( d[ll][k], d[rr-(1<<k)+1][k] ); //返回这两个区间的最小值,要知道我们所查询的区间 //在这两个区间中 } int main() { int n, m; //输入n个值, 进行m次询问 int i, j; scanf("%d", &n); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d", &d[i][0] ); //d数组的第一列初始化,以后都要这样写,不要先读入到其他数组了 //要不然容易超时 } for(j=1; (1<<j)<=n; j++) //以j来控制下层循环的查询半区间 { for(i=1; i+(1<<j)-1<=n; i++ ) //i用来移动d数组的存储指针, 保存当前两个半区间的最小值 { d[i][j] = min(d[i][j-1], d[i+(1<<(j-1))][j-1]) ; } } scanf("%d", &m); //查询次数 int ll, rr; for(i=0; i<m; i++ ) { scanf("%d %d", &ll, &rr ); printf("%d\n", RMQ(ll, rr ) ); } return 0; }
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