证明：实对称矩阵中，属于不同特征值的特征向量相互正交
2015-01-10 20:12
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证明：实对称矩阵中，属于不同特征值的特征向量相互正交.
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设AP=λ1P，AP=λ2P，其中A为实对称矩阵，λ1、λ2为A的不同的特征值，P和Ｑ分别为对应的特征向量
PT(AQ) = PT(λ2Q) = λ2PTQ (1)
(PTA)Q = (PTAT)Q = (AP)TQ = (λ1P)TQ = λ1PTQ (2)
因为PT(AQ)=(PTA)Q
由(1) - (2)得：
PT(AQ) - (PTA)Q = (λ1 - λ2)PTQ
即 0 = (λ1 - λ2)PTQ
又由于λ1 ≠ λ2，所以PTQ=0
即<P, Q> = 0，从而P与Ｑ相互正交
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设AP=λ1P，AP=λ2P，其中A为实对称矩阵，λ1、λ2为A的不同的特征值，P和Ｑ分别为对应的特征向量
PT(AQ) = PT(λ2Q) = λ2PTQ (1)
(PTA)Q = (PTAT)Q = (AP)TQ = (λ1P)TQ = λ1PTQ (2)
因为PT(AQ)=(PTA)Q
由(1) - (2)得：
PT(AQ) - (PTA)Q = (λ1 - λ2)PTQ
即 0 = (λ1 - λ2)PTQ
又由于λ1 ≠ λ2，所以PTQ=0
即<P, Q> = 0，从而P与Ｑ相互正交
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