抽奖，a概率0.2，b概率0.3，a,b都至少有一个的期望

这也是我在读完算法导论后遇到的一个题目。

很感激算法导论第三版，第75页提到的礼券收集者问题。不然这道题，我真不一定做得出来。

我确信这个东西是我的原创。

问题是这样的：

你去开游戏的箱子，开出A概率0.2，开出B概率0.3，啥都没有的概率0.5。

1.开出A和B（都至少1个,
AB合计算一套装备）的数学期望是多少次？

2.如果至少x个A和y个B（x>0,y>0），期望又是多少？ 

3.如果A+B至少是z个，期望又是多少？ 

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－下面是解答过程－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

我们把1看作2的一种特殊情况，然后来杀2，3两道题。

先来考虑个元问题：如果你去抽奖，抽中的概率是0.2，那么你抽中一次的次数期望是多少？答案很明显是1/0.2 = 5。。。如果不服，自己用极限推一下，正好最终极限化简下来的形式就是这么简单。。

如果想要x个A，y个B那么，考虑，一个简单模型就是A的概率是0.4，B的概率是0.6，，比如我们如果求出来这个模型的期望是E，那么，由于A和B一共只占有0.2+0.3 = 0.5的可能性，也就是有0.5的几率是浪费了，所以，原题的结果就是E/（0.5） = 2*E.

现在我们倒回去：简单模型就是A的概率是0.4，B的概率是0.6。要 x个A和y个B，那么，可以用动态规划：

假定DP(X,Y)表示至少有X个A和Y个B的期望。。。那么考虑下一步，如果是A，概率是0.4，整个变成 (1+ DP(X-1,Y))..如果是B，概率是0.6，整个变成（1+DP(X,Y-1)）。。

合并得到 DP(X,Y) = 0.4*(1+DP(X-1,Y))+0.6*(1+DP(X,Y-1))。。而且如果X=0时，DP(0,Y)应该是Y/0.6,   Y=0时，DP(X,0)应该是X/0.4。。。。DP(0,0)是0。。动态规划成立了，用计算机算一下，时间复杂度是O(X*Y),抱歉我没有推出通项公式;

考虑回来结果就是2*DP(X,Y)..

比如第一问。

DP(1,1) = [ 0.4*(1+DP(0,1))+0.6*(1+DP(1,0))]/(0.2+0.3) = [0.4*(1+1/0.6)+0.6*(1+1/0.4)] /(0.2+0.3)=19/3 

第三问：

A+B至少有Z个，这个啊，很简单，把A.B考虑成一体，这样，就是上面提到的元问题，结果就是z/(0.2+0.3) = 2*z

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－脑洞大开系列－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

脑洞大开，如果有A，B，C该怎么办，A是0.1，B是0.2，C是0.7。。。需要它们各自至少一个。。。那么 

很简单，像第二问的解答一样，先固定A，假定第一个是A，那么之后BC求出来，固定B，AC求出来，固定C，AB求出来。。。然后通过 类似DP(X,Y) = 0.4*(1+DP(X-1,Y))+0.6*(1+DP(X,Y-1))的带权值整合的形式，搞一搞就行了。一个递归而已。。。如果A,B,C,D，那么先固定A，求BCD，固定B求ACD。。。等等一层层递归下来就可以。。。当然把AB以及CD分别看作一个整体是不行的。。。这种LogN归并会出现偏差。。。暂时没想到好办法。