向量的叉积和点积的 几何意义 有关于投影的推导（和点积的关系）

向量的叉积与这两个向量垂直

证明方法：利用叉积分别和两个向量的点乘，如果点乘结果为0 ，表示垂直。



---------------

cos (V ^ W) =V.W / | V | | W |

点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。

a . b = || a || || b || cosΘ

向量a·向量b=| a |*| b |*cosΘ
Θ为两向量夹角
| b |*cosΘ叫做向量b在向量a上的投影
| a |*cosΘ叫做向量a在向量b上的投影

给定一个向量u和v，求u在v上的投影向量，如下图。



假设u在v上的投影向量是u’，且向量u和v的夹角为theta。一个向量有两个属性，大小和方向，我们先确定u’的大小（即长度，或者模），从u的末端做v的垂线，那么d就是u’的长度。而u’和v的方向是相同的，v的方向v/|v|也就是u’的方向。所以有


(1)
再求d的长度。


(2)
最后求cos(theta)


(3)
联合求解方程（1）（2）（3）得到



这就是最终的投影向量。
而这个向量的长度d是