uva 11542 Square（数学：高斯消元）

给出n个数，问你有多少种取数的方法使得取出数的乘积是一个完全平方数

这个题的思维跨度还是很大的

因为题目中提示每个数的素因子不会大于500

考虑从唯一分解式着手

把这n个数写成唯一分解式的形式

求出对应素因子的指数

比如4 6 10 15

即为：

4 = 2^2

6 = 2^1×3^1

10 = 2^1×5^1

15 = 3^1×5^1

所以四个数对应的质数因子最大为5

得到4个向量为：

x1 = (2, 0, 0)

x2 = (1, 1, 0)

x3 = (1, 0, 1)

x4 = (0, 1, 1)

这四个数的乘积可以写为

2^(x1+x2+x3)×3^(x2+x4)×5^(x3+x4)

要使结果为完全平方数，就要每个素数的指数和均为偶数

所以有

(x2+x3) % 2 = 0
(x1%2 == 0)

(x2+x4) % 2 = 0

(x3+x4) % 2 = 0

可化为：(这里^表示异或，上面的^表示取幂)

x2 ^ x3 = 0

x2 ^ x4 = 0

x3 ^ x4 = 0

化作对应的增广矩阵则为：



接下来按照高斯消元法解矩阵即可

有x个自由变量

则对应结果为1<<x - 1(0不考虑)

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAXN 510
#define LL long long
using namespace std;

typedef int Matrix[MAXN][MAXN];
int prime[MAXN];

int gen_primes(int n) {
int cnt = 2;
prime[0] = 2;
prime[1] = 3;
for(int i=4; i<=500; ++i) {
bool ok = true;
for(int j=0; j<cnt; ++j) {
if(i%prime[j] == 0) {
ok = false;
break;
}
}
if(ok) {
prime[cnt++] = i;
}
}
return cnt;
}

int rank(Matrix A, int m, int n) {
int i, j, k, r, u;
i = j = 0;
while(i<m && j<n) {
r = i;
for(k=i; k<m; ++k) { //找到第j列为1的最大行
if(A[k][j]) {
r = k;
break;
}
}

if(A[r][j]) {
if(r != i) { //把当前行与第i行交换
for(k=0; k<n; ++k)
swap(A[r][k], A[i][k]);
}
for(u=i+1; u<m; ++u) {//从第i+1行开始高斯消元
if(A[u][j]) {
for(k=i; k<=n; ++k) {
A[u][k] ^= A[i][k];
}
}
}
++i;
}
++j;
}
return i;
}

int main(void) {
LL x;
int T, n, maxp;
int m = gen_primes(500);
Matrix A;
scanf("%d", &T);
while(T--) {
maxp = 0;
scanf("%d", &n);
memset(A, 0, sizeof(A));
for(int i=0; i<n; ++i) {
cin >> x;
for(int j=0; j<m; ++j) {
while(x%prime[j] == 0) {
maxp = max(maxp, j);
x /= prime[j];
A[j][i] ^= 1;
}
}
}
//printf("maxp = %d\n", maxp);
int r = rank(A, maxp+1, n);
cout << (1ll<<(n-r))-1ll << endl;
}
return 0;
}