汉诺塔问题的一个变种

汉诺塔问题的一个变种

最近碰到的一个有意思的算法题。

问题定义

考虑简化的汉诺塔问题：有三个柱子1、2、3，每个柱子上只要最下面的盘子是最大的，其他盘子可以以任意顺序摆放。用尽量少的步骤将n个按顺序摆放的盘子从柱子1移到柱子3（仍为顺序摆放）。

问题分析

为了将所有盘子放到3上，需要三步：

将前n-1个盘子以某种顺序放到2上；
将第n个盘子放到3上；
将2上的盘子放到3上。

其中步骤1与步骤3的差别在于：步骤1中盘子是第一次从柱子1上移出，而且移出之前是排好序的；步骤3中盘子经过步骤1的摆放可能是乱序的。

下面仔细分析步骤1。假设我们现在要将盘子i从1移动到2，这时柱子2、3上没有比i更大的盘子（因为只有前i-1个被移出了），那么柱子2必须是空的。因此有递归表示：

f（将前i个盘子移动到2） = f（将前i-1个盘子移动到3） + （将i移到2） + g（把前i-1个盘子从3移到2）

其中f在移动过程中必须考虑操作的合法性，g则不需要，所以g可以达到步数下限i-1（直接挨个移动）。这时前面的递推式可以写为

f（将前i个盘子移动到2） = f（将前i-1个盘子移动到3） + 1 + i-1 = f（将前i-1个盘子移动到3） + i

由此推出f（将前n个盘子移动到2）的步数下限为：

n * (n + 1) / 2

以n=7为例，根据这种操作方式将前6个盘子移动到2，其排列方式为

| 7
| 6 4 2 1 3 5
|

到现在为止，我们找到了完成步骤1的最优方法，但还不能确认通过这种方法能够达到全局最优。

现在仔细分析步骤3。经过前两个步骤之后，我们需要将2上的n-1个盘子按顺序放到3上。这时n-1一定被压在最下面，为了将n-1移出，我们需要将2上的n-2个盘子移动到1上。其递归表示为：

h（将n个盘子从2移动到3） = k（将n-1个盘子从2移动到1） + （将n移到3） + h（将n-1个盘子从1移动到3）

其中k需要移动n-1个盘子，其操作步数的下限为n-1。那么这个下限何时能达到呢？显然是当n-1个盘子中最大的n-1正好在最上面的时候（这样可以先把它放到最下面）。即只要柱2上的盘子排列成如下形式就能达到步数下限：

|n n-2 n-4 ... n-3 n-1

我们发现这正好是完成步骤1后形成的状态，我们恰好可以同时在步骤1和步骤3中达到最优解。

这时步骤3的递推表达式成为：

h（将n个盘子从2移动到3上） = k（将n-1个盘子从2移动到1上） + 1 + n-1 = n + h（将n-1个盘子从1移动到3上）

由此推出h（将n个盘子从2移动到3上）的步骤下限为n * (n + 1) / 2。

综合以上，我们整个过程中需要步骤数位：

f（将前n-1个盘子移动到2） + (将第n个盘子放到3上) + h（将n-1个盘子从2移动到3） = n(n-1) + 1

编程实现

有两种实现方式：递归和非递归，其中递归方式的思路与上文所述完全一致。不过如果搞清楚了整个过程，用循环的方式写起来更简单而且更快。

递归方式代码：

#include <cstdio>
void mix(int m, int a)
{
int i;
if(m>0)
{
if(m>1)
mix(m-1, 3-a);
//cout<<0<<" "<<a<<endl;
printf("0 %d\n", a);
for(i = m-1; i > 0; i--)
//cout<<3-a<<" "<<a<<endl;
printf("%d %d\n", 3-a, a);
}
}
void dump(int m, int a)
{
int i;
if(m>0)
{
for(i = m; i > 1; i--)
//cout<<a<<" "<<1-a<<endl;
printf("%d %d\n", a, 1-a);
//cout<<a<<" "<<2<<endl;
printf("%d 2\n", a);
if(m > 1)
dump(m-1, 1-a);
}
}
int main()
{
int n;
int a,b;
//cin>>n;
scanf("%d", &n);
mix(n-1,1);
//cout<<0<<" "<<2<<endl;
printf("0 2\n");
dump(n-1,1);
return 0;
}

非递归方式代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
int n, i, j, empty;
cin>>n;

empty = 1 + n % 2;

for(i = 0; i < n - 1; i ++)
{
cout<<"0 "<<empty<<endl;
for(j = 0; j < i; j ++)
{
cout<<3 - empty<<' '<<empty<<endl;
}
empty = 3 - empty;
}

cout<<"0 2"<<endl;

empty = 0;
for(i = 0; i < n - 1; i ++)
{
for(j = 0; j < n - 1 - i - 1; j ++)
{
cout<<1 - empty<<' '<<empty<<endl;
}
cout<<1 - empty<<" 2"<<endl;
empty = 1 - empty;
}

return 0;
}

有趣的是：知道了搬运方式之后，我们并不需要维护整个汉诺塔的状态。