【学习笔记----数据结构16-图的存储结构】

图的存储结构

图的存储结构相较线性表与树来说就更加复杂了。首先，我们口头上说的“顶点的位置”或“邻接点的位置”只是一个相对的概念。其实从图的逻辑结构定义来看，图上任何一个顶点都可被看成是第一个顶点，任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系。如下图



用之前学过的数据结构来表示图，不是很方便

邻接矩阵

考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成。合在一起比较困难，那就很自然地考虑到分两个结构来分别存储。顶点不分大小、主次，所以用一个一维数组来存储是很不错的选择。而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系，一维搞不定，那就考虑用一个二维数组来存储。于是邻接矩阵诞生了啦。

图的邻接矩阵（Adjacency
Matrix）存储方式是是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧信息。

设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n X n的方阵，定义为：



下图是一个无向图



对于矩阵的主对角线的值，全为是0是因为不存在顶点到自身的边。比如v0到v0 ，arc[0][1]=1是因为v0到v1的边存在。

对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij=aji(0 i,j n)。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角对应 的元全都相等。

有了这个矩阵，我们就可以很容易地知道图中的信息。

1. 我们要判定任意两顶点是否有边无边就非常容易

2. 我们要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行（或第i列）的元素之和。如顶点V1的度主是1+0+1+0=2

3. 求顶点Vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点。

我们再来看一个有向图样例，如下图



与无向图同样的办法，判断顶点vi到vj是否存在弧，只需要查找矩阵中arc[i][j]是否为1即可。

之前我提到网的概念，也就是每条边上带有权的的图叫做网。

设图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个nXn的方阵，定义为：



这里wij表示（vi,vj）或<vi,vj>上的权值。∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的权限值。这是由于权值wij大多数情况下是正值，因此必须要用一个不可能的值来代表不存在。权值wij大多数情况下是正值，但个别时候可能就是0，甚至有可能是负值。因此必须要用一个不可能的值来代表不存在。

如下图：



typedef char VertexType //顶点类型由用户定义

typedef int EdgeType //权值类型

#define MAXVEX 100

#define INFINITY 65535

typedef struct

{

VertexType vexs[MAXVEX];

EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];

int numVertexes,numEdges;

}

有了这个结构定义，我们构造一个图其实就是给顶点表和边表输入数据的过程。我们来看看无向网图的创建代码。如下：

void CreateMGraph(MGraph *G)

{

int i,j,k,w;

printf(“输入顶点和边数：\n”);

scanf(“%d,%d”,&G->numVertexes,&G->numEdges);

for(i=0;i<G->numVertexes;i++)

for(j=0;j<G->numVertexes;j++)

G->arc[i][j] =INFINITY ; //邻接矩阵初始化

for(k=0;k<G->numEdges;k++)

{

printf(“输入边(vi,vi)的上标i,下标j和权w”);

scanf(“%d,%d,%d”,&i,&j,&w);

G->arc[i][j] = w;

G->arc[j][i] = w; //无向图是对称矩阵。

}

}

从代码中也可以看到，n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度O(n+n2+e)。其中对邻接矩阵G.arc的初始化耗费了O(n2)的时间。

邻接表

邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是我们也发现，对于边数相对顶点较少的图，这种结构是存在对存储空间的极大浪费的。

如图



我们把数组与链表相结合的存储方法称为邻接表（Adjacency List）

处理方法如下：

1. 图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向一个邻接点的指针，以便查找该顶点的边信息

2. 图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点vi边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。



从图中我们知道，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。

边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。

比如：v1顶点与v0、v2互为邻接点，则在v1的边表中，adjvex分别为v0的0和v2的2。

这样的结构，对于我们要获得图的相关信息也是很方便的。比如我们要想知道某个顶点的度，就去查找这个顶点的边表中结点的个数。若要判断顶点vi到vj是否存在边，只需要测试顶点vi的边表中adjvex是否存在结点vj的下标j就行了若求顶点的所有邻接点，其实就是对此顶点的边表进行遍历，得到的adjvex域对应的顶点就是邻接点。

若图是有向图，邻接表的结构是类似的，



注意的是有向图由于有方向，我们是以顶点为弧尾来存储边表的，这样很容易就可以得到每个顶点的出席。但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧，我们可以建立一个有向图的逆邻接表，即对我个顶点vi都建立一个链接为vi为弧头的表。

对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。



结构定义：

typedef char VertexType

typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义

typedef struct EdgeNode //边表结点

{

int adjvex; //邻接点域，存储该顶点对应的下标

EdgeType weight;

struct EdgeNode *next; //指向下一个连接点

}EdgeNode;

typedef struct VertexNode //顶点表结点

{

VertexType data;

EdgeNode *firstedge; //边表头指针

}VertexNode,AdjList[MAXVEX];

typedef struct

{

AdjList adjList;

int numVertexes,numEdges; //

}GraphAdjList;

建立图的邻接表结构，无向图

void CreateALGraph(GraphAdjList *G)

{

int i,j,k;

EdgeNode *e;

printf(“输入顶点数和边数:\n”);

scanf(“%d,%d”,&G->numVertexes,&G->numEdges);//输入顶点和边数

for(i=0;i<G->numVertexes;i++)

{

scanf(&G->adjList[i].data);

G->adjList[i].firstedge=NULL;

}

//建立边表

for(k=0;k<G->numEdges;k++)

{

prinf(“输入边(vi,vj)上的顶点序号\n”);

scanf(“%d,%d”,&i,&j); //输入边（vi,vj）上的顶点序号

e=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));

e->adjvex = j;

e->next=G->adjList[i].firstedge; //

G->adjList[i].firstedge=e;

e=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));

e->adjvex = i;

e->next=G->adjList[j].firstedge;

G->adjList[j].firstedge = e;

}

}