中国剩余定理 算法摘记

中国剩余定理是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。也称为孙子定理。

用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：



中国剩余定理说明：假设整数m1, m2,
... , mn两两互质，则对任意的整数：a1, a2,
... , an，方程组

有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

是整数m1, m2,
... , mn的乘积，并设

是除了mi以外的n -
1个整数的乘积。
设

为

模

的数论倒数：


方程组

的通解形式为：

在模

的意义下，方程组

只有一个解：

例子

使用中国剩余定理来求解上面的“物不知数”问题，便可以理解《孙子歌诀》中的数字含义。这里的线性同余方程组是：



三个模数m1

3, m2

5, m3

7的乘积是M

105，对应的M1

35, M2

21, M3

15.

35%3 21%5 15%7

而可以计算出相应的数论倒数：t1

2, t2

1, t3

1.

所以《孙子歌诀》中的70，21和15其实是这个“物不知数”问题的基础解：



而将原方程组中的余数相应地乘到这三个基础解上，再加起来，其和就是原方程组的解：



这个和是233，实际上原方程组的通解公式为：



《孙子算经》中实际上给出了最小正整数解，也就是k

-2时的解：x

23.

不互质版本的

HDU 3579