算法笔记--最短路径之dijkstra算法

１ 最短路径算法

在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：

（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。

（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有四种：1.Dijkstra(迪杰斯特拉)------------解决单源最短路问题。(贪心的思想)----条件：非负权值。

2.Bellman-Ford(贝尔曼-福特)--------解决单源最短路问题。(逐个遍历每一条边)

3.Floyd(弗洛伊德)---------------解决全源最短路问题。(dp的思想)

4.SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)-----------解决单元最短路问题。(队列实现，是bellman-Ford算法的一种改进)

本文（下文）主要研究Dijkstra算法的单源算法。

２ Dijkstra算法

Dijkstra's algorithm, conceived by Dutchcomputer
scientistEdsger Dijkstra in 1956
and published in 1959,[1][2]
is a graph search algorithm that solves the single-sourceshortest
path problem for agraph
with nonnegativeedge path costs, producing ashortest
path tree. This algorithm is often used inrouting
and as a subroutine in other graph algorithms.

翻译：Dijkstra算法，是由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra算法在1956和1959出版，它是一个图的搜索算法，解决单源最短路径问题的一个非负边路径成本图，产生一个最短路径树。该算法是经常使用的路由和在其他图形算法子程序。

2.1 Dijkstra算法

　　Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。　

2.2 Dijkstra算法思想

Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2.3 Dijkstra算法具体步骤　　

（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。

（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。

2.4 Dijkstra算法举例说明

如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）

图一：Dijkstra无向图







算法执行步骤如下表：【注：名为“Dijkstra算法过程”的图】





单源最短路径问题：即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，

假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.知道U=V，停止。

参考文献

[1] 黄国瑜、叶乃菁，数据结构，清华大学出版社，2001年8月第1版

[2] 最短路径，http://baike.baidu.com/view/349189.htm?func=retitle

[3] 李春葆，数据结构教程，清华大学出版社，2005年1月第1版

[3] Dijkstra算法，http://baike.baidu.com/view/7839.htm

下面主要以HDU-OJ-1874讲解此题。

题目大意概括：输入n和m分别抽象表示n个点，m条边，下面输入m行，每行输入a，b，x。表示a->b之间道路长度x，

输入起点s，终点e。

输出最短需要行走的距离。如果不存在从S到T的路线，就输出-1.

代码的实现过程如下（代码中已经详细写明注释，仔细体会代码）：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#define N 1000
#define inf 999999
using namespace std;

int map

;// 记录图的两点间路径长度
int dis
;// 表示当前点到源点的最短路径长度
int vis
;//visited数组标记某点是否已访问
int s,e;//声明全局变量s起点e终点

void dijkstra(int n)
{
int i,j;
int pos;
for(i=0; i<n; i++)
{
dis[i]=map[i][s];//第一次给dis数组赋值
}
vis[s]=1;//标记起点已经访问过
for(i=0; i<n-1; i++)//再运行n-1次,剩下的n-1个点
{
pos=s;
int min=inf;
for(j=0; j<n; j++)
{
if(!vis[j]&&dis[j]<min)
{
min=dis[j];//更新最小距离
pos=j;//并且标记下标
}
}
vis[pos]=1;//标记改点已经访问过
for(j=0; j<n; j++)
{
if(!vis[j]&&dis[j]>dis[pos]+map[j][pos])//更新与j直接相邻顶点的dis值
dis[j]=dis[pos]+map[j][pos];//这里是此算法更新的关键所在
}
}
if(dis[e]!=inf)
printf("%d\n",dis[e]);//打印出源点到最后一个顶点的最短路径长度;
else
printf("-1\n");//否则打印-1;
}
int main()
{
int n,m;
int i,j;
int a,b,x;//声明变量
while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)//循环输入数据n和m的值
{
memset(vis,0,sizeof(vis));//清空vis数组
for(i=0; i<n; i++)
{
for(j=0; j<n; j++)
{
map[i][j]=inf;//所有权值初始化为最大,代表地图上的点没有连线
}
map[i][i]=0;//自身到自身的距离权值为0
}
for(i=0; i<m; i++)
{
scanf("%d %d %d",&a,&b,&x);
if(map[a]>x)//更新
map[a][b]=map[b][a]=x;//这样表示无向图
}
scanf("%d %d",&s,&e);//输入起点和终点
dijkstra(n);
}
return 0;
}

[b]以上重点阐释了最短路径dijkstra算法的实现过程。