轻松掌握Dijkstra算法(最短路径算法)

void ShortestPath_DIJ(MGraph G, int v0, PathMatrix &P, ShortPathTable &D)

{

/**

* 核心原理：

* 记已求得的最短路径终点的集合为S，假设要加入的终点是x顶点，那么下一条最短路径要么是

* 直接弧（v0,x），要么就是中间经过S中顶点而最后到达终点x的路径（v0,...,x）。

* 证明：（反证法）

* 假设下一条最短路径中经过一个顶点不在S中，那么说明存在一条终点不在S而长度比此路径短的路径。

* 但是这是不可能的，因为算法是按路径长度递增的次序来产生各路径的，故长度比此路径短的所有路径

* 均已产生，它们的终点必定在S中，即假设不成立。（理解：如果有一条最短路径中经过一个顶点不在

* S中，由于这个不在S中的顶点到终点x的弧权值大于0，所以从起始点v0到这个顶点的最短路径比起始

* 点v0到终点x的最短路径肯定要短，那么这一次选取的终点就不应该是x了，与假设矛盾。）

*/

/**

* 定义说明：

* 用Dijkstra算法求v0点到其它各个顶点的最短路径问题。

* G表示用二维表数组表示的图信息，其中(v,w)表示顶点v到顶点w的边权值。

* v0表示图G中的起始点。

* D是一个记录起始点v0到各个顶点的最短路径长度的一维数组。

* 若P[v][w]为TRUE，则表示从v0顶点到v顶点的最短路径经过w顶点。

* 若final[v]为TRUE，则表示v顶点已经被包含在最短路径集合中。

*/

/**

* 处理过程：

* 1. 初始化操作（最短路径顶点集合S、最短路径矩阵P、最短路径数组D）

* 2. 主循环操作

* 2.1 根据最短路径数组D来挑选一个顶点加入到已处理的集合S中（最短路径顶点集合S）

* 2.2 最新当前最短路径数组D和最短路径矩阵P（最短路径矩阵P、最短路径数组D）

*/

int v = 0;

int w = 0;

int i = 0;

int j = 0;

int min = INF; /** INF表示无穷大 */

int* final = new int[G.vexnum]; /** 表示最短路径顶点集合S */

/** 初始化操作（最短路径顶点集合S、最短路径矩阵P、最短路径数组D） */

for(v = 0; v < G.vexnum; v++)

{

final[v] = FALSE; /** 初始化最短路径顶点集合S */

D[v] = G.arcs[0][v]; /** 初始化最短路径数组D */

for(w = 0; w < G.vexnum; w++)

{

P[v][w] = FALSE; /** 初始化最短路径矩阵P */

}

if(D[v] < INF)

{

/** 第一次以起始点v0来记录最短路径矩阵P */

P[v][v0] = TRUE;

P[v][v] = TRUE;

}

}

final[v0] = TRUE; /** 第一次以起始点v0加入到最短路径顶点集合S */

D[0] = 0; /** 第一次以起始点v0记录初始化最短路径数组D */

/** 主循环操作 */

for(i = 1; i < G.vexnum; i++)

{

/** 根据最短路径数组D来挑选一个顶点加入到已处理的集合S中 */

min = INF;

for(w = 0; w < G.vexnum; w++)

{

if(!final[w] && min > D[w])

{

min = D[w];

v = w;

}

}

final[v] = TRUE; /** 更新最短路径顶点集合S（将新顶点加入集合S中） */

for(w = 0; w < G.vexnum; w++)

{

if(!final[w] && min + G.arcs[v][w] < D[w])

{

D[w] = min + G.arcs[v][w]; /** 更新最短路径数组D（保持D数组是最小的路径值） */

/** 更新最短路径矩阵P（记录到P[w][w]最短路径经过自身，且照搬前面顶点v的路径过程） */

P[w][w] = TRUE;

for(j = 0; j < G.vexnum; j++)

{

P[w][j] = P[v][j];

}

}

}

}

}