二分图匹配，匈牙利算法详解

博文转自（http://blog.csdn.net/akof1314/article/details/4421262）

这是一种用增广路求二分图最大匹配的算法。它由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。 定义 未盖点：设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。



 

交错路：设P是图G的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。

可增广路：两个端点都是未盖点的交错路叫做可增广路。



 



 

流程图

bool 寻找从k出发的对应项出的可增广路
{
while (从邻接表中列举k能关联到顶点j)
{
if (j不在增广路上)
{
把j加入增广路;
if (j是未盖点 或者 从j的对应项出发有可增广路)
{
修改j的对应项为k;
则从k的对应项出有可增广路,返回true;
}
}
}
则从k的对应项出没有可增广路,返回false;
}

void 匈牙利hungary()
{
for i->1 to n
{
if (则从i的对应项出有可增广路)
匹配数++;
}
输出 匹配数;
}

 

演示：















































 

c++匈牙利算法实现模板详解

/*===========================================================*\
G为图，M为图中的一个匹配，从X集合到Y集合找一个最大匹配
交互道路：对于G的一个匹配M, G中属于M与不属于M的边交替出现的道路
称为一条交互道路.
可增广道路：设P是关于匹配M的一条交互道路，如果P的两个端点是关于
M的非饱和点，那么称P是一条可增广道路。

\*===========================================================*/
int uN, vN; // uN为集合X的个数, vN为集合Y的个数，要初始化！！！
bool g[MAXN][MAXN]; // g[i][j] 表示xi与yj相连
int xM[MAXN], yM[MAXN]; // 输出量
bool chk[MAXN]; // 辅助量检查某轮y[v]是否被check
bool SearchPath(int u){
int v;
for(v = 0; v < vN; v++)
if(g[u][v] && !chk[v])//取u的临界点集合为Y，并且Y没有被访问过
{
chk[v] = true;
if(yM[v] == -1 || SearchPath(yM[v]))//若Y中有非饱和点（-1），则找到一条增广路径；
//若Y已饱和，则找到在匹配M中的边（x，y），x的集合加到X中，
//延长路径(-1->饱和Y->饱和X->(找非饱和点)),SearchPath(yM[v])找到Y中的一个非饱和点
{
yM[v] = u; xM[u] = v;//进行值更新
return true ;
}
}
return false ;
}
int MaxMatch(){
int u, ret = 0 ;
memset(xM, -1, sizeof (xM));//-1表示为非饱和点
memset(yM, -1, sizeof (yM));//-1表示为非饱和点
for(u = 0; u < uN; u++)
if(xM[u] == -1){// 在集合X中找任一非饱和点进行一次增广路径的查找
memset(chk, false, sizeof (chk));
if(SearchPath(u)) ret++;//如果找到一条增广路径，最大匹配的个数加1
}
return ret;
}