编程之美2.14 求数组的子数组之和的最大值
2014-08-13 21:30
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题目:如题
分析:子数组,说明是连续的,注意和区分子序列开,子序列是可以不连续的。
求和,无需返回具体的子数组的起始位置
数组中的元素包括正数、负数、0
解法一:O(N^3)
最直观的方法,求数组A[0...n-1]的子数组之和最大值,记sum[i...j]为数组中第i个元素到第j个元素的和,0 <= i<= j<=
n,要求最大的和,只需要遍历i到j的所有的可能,取最大的和就可以了。
解法二:O(N^2)
解法三:O(NlogN)
将数组分成长度相等的两段数组A[0...N/2-1]和A[N/2...N-1],分别求出这两段的最大子段和,则原数组A[0...N-1]的最大子段和将是以下三种情况中的最大值:
1、A[0...N-1]的最大子段和 = A[0...N/2-1]的最大子段和;
2、A[0...N-1]的最大子段和 = A[N/2...N-1]的最大子段和;
3、A[0...N-1]的最大子段跨过A的中间两个元素A[N/2-1]和A[N/2].
对于1、2这两种情况是将问题规模减半的相同子问题,可以通过递归求得。
对于3来言,需要找到以A[N/2-1]结尾的最大子段 以及 以A[N/2]开头的最大子段,只需要分别从A[N/2-1]开始往前遍历一遍,以A[N/2]开始往后遍历一遍即可。
解法四:O(N)
动态规划
分析:子数组,说明是连续的,注意和区分子序列开,子序列是可以不连续的。
求和,无需返回具体的子数组的起始位置
数组中的元素包括正数、负数、0
解法一:O(N^3)
最直观的方法,求数组A[0...n-1]的子数组之和最大值,记sum[i...j]为数组中第i个元素到第j个元素的和,0 <= i<= j<=
n,要求最大的和,只需要遍历i到j的所有的可能,取最大的和就可以了。
/* O(N^3) algorithm */ int MaxSubSum1(int a[], int n){ int maxsum = 0; for(int i = 0; i < n ; i++){ for(int j = i ; j < n ; j++){ int sum = 0; for(int k = i ; k <= j ; k++) sum += a[k]; if(sum > maxsum) maxsum = sum; } } return maxsum; }
解法二:O(N^2)
/* O(N^2) algorithm 充分利用了中间数据。 例如上一轮从a[4]加到a[8],下一轮从a[4]加到a[9]时。 实际上可以利用上面的结果,减少重复计算。 即:以a[i]起头的最大和子序列只可能有一个。 */ int MaxSubSum2(int a[], int n){ int maxsum = 0; for(int i = 0; i < n ; i++) { int sum = 0; for(int j = i ; j < n ; j++){ sum += a[j]; if(sum > maxsum) maxsum = sum; } } return maxsum; }
解法三:O(NlogN)
将数组分成长度相等的两段数组A[0...N/2-1]和A[N/2...N-1],分别求出这两段的最大子段和,则原数组A[0...N-1]的最大子段和将是以下三种情况中的最大值:
1、A[0...N-1]的最大子段和 = A[0...N/2-1]的最大子段和;
2、A[0...N-1]的最大子段和 = A[N/2...N-1]的最大子段和;
3、A[0...N-1]的最大子段跨过A的中间两个元素A[N/2-1]和A[N/2].
对于1、2这两种情况是将问题规模减半的相同子问题,可以通过递归求得。
对于3来言,需要找到以A[N/2-1]结尾的最大子段 以及 以A[N/2]开头的最大子段,只需要分别从A[N/2-1]开始往前遍历一遍,以A[N/2]开始往后遍历一遍即可。
int max(int a, int b) { return a > b ? a:b; } /* O(N*logN) recursive algorithm 采用了分治和递归的思想。将一个数组分成两个数组处理。 */ int maxSum3(int a[], int start, int end) { //如果某边剩一个元素,如果大于0则累加,小于0则放弃 if(start == end) { if(a[left] > 0) return a[start]; else return 0; } int mid = start + (end - start) / 2; //左半边中子序列的最大和 int leftSum = maxSum3(a, start, mid); //右半边中子序列的最大和 int rightSum = maxSum3(a, mid + 1, end); //跨两边子序列的最大和,所以从middle往两边起算 int leftRightSum = 0; //首先middle往左。一个标记最大值,一个标记临时值。 int midLeftSum = 0, midLeftTemp = 0; for(int i = mid; i >= start; i --) { midLeftTemp += a[i]; if(midLeftTemp > midLeftSum) { midLeftSum = midLeftTemp; } } //然后middle往右 int midRightSum = 0, midRightTemp = 0; for(int j = mid + 1; j <= end; j ++) { midRightTemp += a[j]; if(midRightTemp > midRightSum) { midRightSum = midRightTemp; } } leftRightSum = midLeftSum + midRightSum; //取三者中的最大值 return max( max(leftSum, rightSum), leftRightSum); }
解法四:O(N)
动态规划
/* O(N) algorithm 一个以a[0]开头的到a[i]子序列只有三种情况: 1.为负。则抛弃这个结果,从a[i+1]开始重新计算(减少了计算量)//else if 2.大于已知的最大和,记录下来。//if 3.最大和还未出现,继续累加下去。//未被以上两者匹配。 */ int maxSum4_1(int a[], const int n) { int maxSum = 0, tempSum = 0; for(int i = 0; i < n; i ++) { tempSum += a[i]; if(tempSum > maxSum) { maxSum = tempSum; } else if(tempSum < 0) { tempSum = 0; } } return maxSum; } /* 定义b[j]为数组中包含a[j]的最大连续子序列和 b[j]并不是1-j中最大的连续子序列和,只是包括a[j]的子序列的和 求b[j]中最大值,状态方程:b[j] = max{a[j], b[j-1] + a[j]}; */ int maxSum4_2(int a[], const int n) { int *b = new int ; b[0] = a[0]; int maxSum = b[0]; for(int i = 1; i < n; i ++) { b[i] = max(a[i], b[i-1] + a[i]); if(b[i] > maxSum) maxSum = b[i]; } return maxSum; }
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