编程之美2.14扩展问题1 求子数组和的最大值（首尾可以相连）

整体思路：

问题的解可以分为两种情况：
1)解没有跨过A[n-1]到A[0]，即普通的求子数组和的最大值
2)解跨过A[n-1]到A[0]
对第二种情况，只要找到从A[0]开始和最大的一段(A[0],...,A[j])(0<=j<n)以及A[n-1]结尾的和最大的一段(A[i],...,A[n-1])(0<=i<n)，那么第2种情况中，和的最大值M_2为：
M_2=A[i]+...A[n-1]+A[0]+...+A[j]
如果i<=j，则
M_2=A[0]+...+A[n-1] - 子数组和为负的最小值（数组元素全为正则返回0）
否则
M_2=A[0]+...+A[j]+A[i]+...+A[n-1]

代码如下，其中也分了A[0]+...+A[n-1]全为负的时候返回0(代码中define RETURN_ZERP)跟返回最大的负数(RETURN_MAXMINUS)这两种情况，lpos对应于整体思路中的i，rpos对应于整体思路中的j

/*******************************问题描述****************************
一个有N个整数元素的一维数组(A[0],A[1],...A(n-1)(首尾可以相邻),它包含
很多子数组，求子数组之和的最大值，当数组元素全部为负的时候，有两种处
理办法，第一种是返回0，第二种是返回数组中最大的负数
*******************************************************************/

/*******************************整体思路***************************
问题的解可以分为两种情况：
1)解没有跨过A[n-1]到A[0]，即普通的求子数组和的最大值
2)解跨过A[n-1]到A[0]
对第二种情况，只要找到从A[0]开始和最大的一段(A[0],...,A[j])(0<=j<n)
以及A[n-1]结尾的和最大的一段(A[i],...,A[n-1])(0<=i<n)，那么第2种情况
中，和的最大值M_2为：
M_2=A[i]+...A[n-1]+A[0]+...+A[j]
如果i<=j，则
M_2=A[0]+...+A[n-1]-子数组和为负的最小值
否则
M_2=A[0]+...+A[j]+A[i]+...+A[n-1]
*******************************************************************/

#include<iostream>
using namespace std;

#define RETURN_MAXMINUS
#ifdef RETURN_MAXMINUS
/*********************************动态规划**************************************
假设A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段为A[i],...,A[j]，则有以下3种情况，
1)当0=i=j的时候，元素A[0]本身构成和最大的一段
2)当0=i<j的时候，和最大的一段以A[0]开头
3)当0<i时候，元素A[0]跟和最大的一段没有关系
则原始问题A[0],A[1],...A(n-1)的解All[0]=max{A[0],A[0]+Start[1],ALL[1]}
求得A[0],A[1],...A[n-1](首尾不连接)的情况后再考虑整体思路中的第二种情况
*********************************************************************************/
//从尾到首动态规划
int MaxSum(int *A,int length){
//先求出A[0],A[1],...A[n-1](首尾不连接)的情况下子数组和最大值nAll
int nStart=A[length-1];
int nAll=A[length-1];
for(int i=length-2;i>=0;i--){
nStart=max(A[i],A[i]+nStart);
nAll=max(nStart,nAll);
}
//下面处理整体思路的第二种情况，即跨过A[n-1],A[0]
//先求A[n-1]结尾的和最大的一段(A[i],...,A[n-1])(0<=i<n)
int sum=0;
int ltempmax=-10000000;
int lpos=length;
for(int i=length-1;i>=0;i--){
sum+=A[i];
if(sum>ltempmax){
ltempmax=sum;
lpos=i;
}
}

//求A[0]开始和最大的一段(A[0],...,A[j])(0<=j<n)
sum=0;
int rtempmax=-10000000;
int rpos=-1;
for(int i=0;i<length;i++){
sum+=A[i];
if(sum>rtempmax){
rtempmax=sum;
rpos=i;
}
}

//如果lpos<=rpos，则循环数组中可能出现的子数组最大值要么是A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAll
//要么是整个数组A[0]...A[n-1]的和再减去A[0]...A[n-1]中子数组和为负数的最小值
if(lpos<=rpos){
//求数组中和为负数且的最小值
int minStart=0;
int minAll=0;
for(int i=0;i<length;i++){
minStart=min(0,A[i]+minStart);
minAll=min(minStart,minAll);
}
int tempmax=ltempmax+rtempmax;
for(int i=lpos;i<=rpos;i++){
tempmax-=A[i];
}
//比较A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAll跟A[0]...A[n-1]的和再减去A[0]...A[n-1]中子数组和为负数的最小值
return max(nAll,tempmax-minAll);
}else{
//比较A[0]+...+A[j]+A[i]+...+A[n-1]即ltempmax+rtempmax的值跟A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAll
return max(nAll,ltempmax+rtempmax);
}

}
#endif

//#define RETURN_ZERO
#ifdef RETURN_ZERO
/*********************************动态规划**************************************
假设A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段为A[i],...,A[j]，则有以下3种情况，
1)当0=i=j的时候，元素A[0]本身构成和最大的一段
2)当0=i<j的时候，和最大的一段以A[0]开头
3)当0<i时候，元素A[0]跟和最大的一段没有关系
则原始问题A[0],A[1],...A(n-1)的解All[0]=max{A[0],A[0]+Start[1],ALL[1]}
求得A[0],A[1],...A[n-1](首尾不连接)的情况后再考虑整体思路中的第二种情况
*********************************************************************************/
//从尾到首动态规划
int MaxSum(int *A,int length){
//先求出A[0],A[1],...A[n-1](首尾不连接)的情况下子数组和最大值nAll
int nStart=0;
int nAll=0;
for(int i=length-1;i>=0;i--){
nStart=max(0,A[i]+nStart);
nAll=max(nStart,nAll);
}
//下面处理整体思路的第二种情况，即跨过A[n-1],A[0]
//先求A[n-1]结尾的和最大的一段(A[i],...,A[n-1])(0<=i<n)
int sum=0;
int ltempmax=-10000000;
int lpos=length;
for(int i=length-1;i>=0;i--){
sum+=A[i];
if(sum>ltempmax){
ltempmax=sum;
lpos=i;
}
}

//求A[0]开始和最大的一段(A[0],...,A[j])(0<=j<n)
sum=0;
int rtempmax=-10000000;
int rpos=-1;
for(int i=0;i<length;i++){
sum+=A[i];
if(sum>rtempmax){
rtempmax=sum;
rpos=i;
}
}

//如果lpos<=rpos，则循环数组中可能出现的子数组最大值要么是A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAll
//要么是整个数组A[0]...A[n-1]的和再减去A[0]...A[n-1]中子数组和为负数的最小值
if(lpos<=rpos){
//求数组中和为负数且的最小值
int minStart=0;
int minAll=0;
for(int i=0;i<length;i++){
minStart=min(0,A[i]+minStart);
minAll=min(minStart,minAll);
}
int tempmax=ltempmax+rtempmax;
for(int i=lpos;i<=rpos;i++){
tempmax-=A[i];
}
//比较A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAll跟A[0]...A[n-1]的和再减去A[0]...A[n-1]中子数组和为负数的最小值
return max(nAll,tempmax-minAll);
}else{
//比较A[0]+...+A[j]+A[i]+...+A[n-1]即ltempmax+rtempmax的值跟A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAll
return max(nAll,ltempmax+rtempmax);
}

}
#endif

#define MAIN
int main(){
int a[6]={1,-2,3,5,-3,2};
int b[6]={1,-2,3,5,-1,2};
int c[6]={2,-1,3,5,-2,1};
int d[6]={-9,-2,-3,-5,-3};
int e[3]={3,-2,3};
#ifdef RETURN_MAXMINUS
cout<<"a 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回8) "<<MaxSum(a,6)<<endl;
cout<<"b 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回10) "<<MaxSum(b,6)<<endl;
cout<<"c 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回10) "<<MaxSum(c,6)<<endl;
cout<<"c 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回-2) "<<MaxSum(d,5)<<endl;
cout<<"e 的子数组和的最大值(正确结果应该返回6) "<<MaxSum(e,3)<<endl;
#endif
#ifdef RETURN_ZERO
cout<<"a 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回8) "<<MaxSum(a,6)<<endl;
cout<<"b 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回10) "<<MaxSum(b,6)<<endl;
cout<<"c 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回10) "<<MaxSum(c,6)<<endl;
cout<<"c 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回0) "<<MaxSum(d,5)<<endl;
cout<<"e 的子数组和的最大值(正确结果应该返回6) "<<MaxSum(e,3)<<endl;
#endif
system("PAUSE");
return 0;
}
#ifdef MAIN
#endif