求子数组之和的最大值——编程之美 2.14 扩展问题 正确实现

使用动态规划求最大子数字和：

s[i]表示data[i~n-1]以元素i开始的最大子数组和，a[i]表示data[i~n-1]中的最大子数组和 ；
s[i]=max(s[i+1]+data[i], data[i]);
a[i]=max(a[i+1], s[i]);

由于数组s,a递推的时候，都只用到数组的前一个变量，所以可以用滚动数组节省空间。

扩展问题：

1) 如果数组首尾相连，即允许找到一组数字(A[i],···,A[n-1], A[0],···, A[j])，请使其和最大，怎么办？（书中答案错误，可以使用旋转数组的方法，时间复杂度n2，本文参考别人的想法，实现的算法复杂度为n）

2) 如果题目要求返回最大子数组的位置，算法应该如何改变？还能保持O(N)的复杂度么？

具体实现及思路如下：

#include <cstdio>

/*
使用动态规划求最大子数字和：
s[i]表示data[i~n-1]以元素i开始的最大子数组和，a[i]表示data[i~n-1]中的最大子数组和 ；
s[i]=max(s[i+1]+data[i], data[i]);
a[i]=max(a[i+1], s[i]);

由于数组s,a递推的时候，都只用到数组的前一个变量，所以可以用滚动数组节省空间。
*/
int maxSum(int data[], int n)
{
int s = data[n-1];
int a = data[n-1];
for(int i = n-2; i>=0; i--)
{
if(s<0)
s=0;
s+=data[i];
if(s > a)
a = s;
}
return a;
}

/*
如果要求返回最大子数组和的位置，如何处理？
使用curEnd记录当前最大字数组和的结束位置，
当s（以元素i开始的最大子数组和） 小于零时，更新curEnd字数组末端标记，
当a（当前的最大子数组和）发生变化时，更新最大字数组的标记Start，End
*/
int maxSum2(int data[], int n,int &start, int &end)
{
int s = data[n-1];
int a = data[n-1];
int curEnd = n-1;

start = end = n-1;
for(int i = n-2; i>=0; i--)
{
if(s<0)
{
s=0;
curEnd = i;
}
s+=data[i];
if(s > a)
{
a = s;
start = i;
end = curEnd;
}

}
return a;
}

/*
如果数组arr[0],…,arr[n-1]首尾相邻，也就是允许找到一段数字arr[i],…,arr[n-1],arr[0],…,a[j]，使其和最大，该如何？
编程之美的答案的思路有问题，详见： http://www.ahathinking.com/archives/120.html 参考该文算法，可知在允许数组跨界（首尾相邻）时，最大子数组的和为下面的最大值
Maxsum={ 原问题的最大子数组和；数组所有元素总值-最小子数组和 }
*/
int maxSum3(int data[], int n)
{
int maxs = data[n-1];
int maxa = data[n-1];
int sumAll = data[n-1];

int mins = data[n-1];
int mina = data[n-1];

for(int i = n-2; i>=0; i--)
{
sumAll+=data[i];
if(maxs<0)
maxs=0;
maxs+=data[i];
if(maxs > maxa)
maxa = maxs;

if(mins>0)
mins=0;
mins+=data[i];
if(mins < mina)
mina = mins;
}
int maxa2 = sumAll-mina;
return maxa>maxa2?maxa:maxa2;
}

int main()
{
/*
int d[]={
-4,-5,-6,-1,-5,-9
};*/
int d[]={
8,-10,60,3,-1,-6
};
int s,e;
int res = maxSum3(d,6);
printf("%d\n",res);
}