2-路归并排序（C代码）及其时间复杂度的具体分析

归并含义

归并的含义是把两个(或两个以上)有序表合并成一个新的有序表。

归并排序的原理

归并排序是即把长度为n的序列分成n个长度为1的子序列,,然后把有序子序列合并成整体有序序列,这个过程也称为2-路归并.注意:归并排序的一种稳定排序,即相等元素的顺序不会改变.
归并排序的步骤

Divide: 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列。

Conquer: 对这两个子序列分别采用归并排序。

Combine: 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

下面是递归形式的实现代码：

[cpp] view
plaincopy

#include<stdio.h>

//将有二个有序子数组a[begin...mid]和a[mid+1...end]合并。

void MergeArray(int a[],int begin,int mid,int end,int temp[])

{

int i=begin,j=mid+1;

int m=mid,n=end;

int k=0;

while(i<=m && j<=n)

{

if(a[i]<=a[j])

temp[k++]=a[i++];

else

temp[k++]=a[j++];

}

while(i<=m)

temp[k++]=a[i++];

while(j<=n)

temp[k++]=a[j++];

//把temp数组中的结果装回a数组

for(i=0;i<k;i++)

a[begin+i]=temp[i];

}

void mergesort(int a[],int begin,int end,int temp[])

{

if(begin<end)

{

int mid = (begin+end)/2;

mergesort(a,begin,mid,temp); //左边有序

mergesort(a,mid+1,end,temp); //右边有序

MergeArray(a,begin,mid,end,temp); //将左右两边有序的数组合并

}

}

int main()

{

int num[10]={2,5,9,3,6,1,0,7,4,8};

int temp[10];

mergesort(num,0,9,temp);

for(int i=0;i<10;i++)

{

printf("%d",num[i]);

}

printf("\n");

}

时间复杂度：



这是一个递推公式（Recurrence），我们需要消去等号右侧的T(n)，把T(n)写成n的函数。其实符合一定条件的Recurrence的展开有数学公式可以套，这里我们略去严格的数学证明，只是从直观上看一下这个递推公式的结果。当n=1时可以设T(1)=c1，当n>1时可以设T(n)=2T(n/2)+c2n，我们取c1和c2中较大的一个设为c，把原来的公式改为：



这样计算出的结果应该是T(n)的上界。下面我们把T(n/2)展开成2T(n/4)+cn/2（下图中的(c)），然后再把T(n/4)进一步展开，直到最后全部变成T(1)=c（下图中的(d)）：



把图(d)中所有的项加起来就是总的执行时间。这是一个树状结构，每一层的和都是cn，共有lgn+1层，因此总的执行时间是cnlgn+cn，相比nlgn来说，cn项可以忽略，因此T(n)的上界是Θ(nlgn)。

如果先前取c1和c2中较小的一个设为c，计算出的结果应该是T(n)的下界，然而推导过程一样，结果也是Θ(nlgn)。既然T(n)的上下界都是Θ(nlgn)，显然T(n)就是Θ(nlgn)。