二叉树（一）——二叉树的基本实现（数组实现和链表实现）

1.树是一种数据结构，树的一些相关的术语：

结点的度：一个结点的后继结点的个数。

树的度：树中度值最大的结点的度被称为树的度。

树的深度：树的层次数。

分支结点：度值大于0的结点，分支结点至少含有一个后继，分支结点也称为非终端结点。

叶子结点：树中的度值为0的结点。

双亲结点：树中某个结点的前驱结点，也成为父节点。

子女结点：树中某结点的后继结点。

兄弟结点：树中同一层的结点。

2.二叉树

（1）二叉树是一种特殊的树，树的度值最大为2.

（2）二叉树的表示：

A

/ \

B C

/ \ / \

D E F G

二元表示：

Binary-tree = (D, S)

D={A, B, C, D, E, F, G}

S={<A,B>, <A,C>, <B,D>, <B,E>, <C,F>, <C,G>}

3.二叉树的特点

（1）任何一棵二叉树的叶子结点总比双分支结点个数多一个。

分别设叶子结点，单分子结点，双分子结点的个数为：n0, n1, n2，则有：

n0+n1+n2 = 2n2+n1+1 ==> n0 = n2+1

2n2+n1+1：n2结点每个节点有两个叶子节点，n1结点每个结点有一个叶子结点，+1的原因是根结点不属于任何一个结点的子节点，所以根结点需要单独加上。

（2）二叉树的第i层最多有2^(i-1)个元素。

（3）一棵h层的二叉树最多有2^h - 1个元素。

4.满二叉树：h层的二叉树共有2^h - 1个元素。

完全二叉树：h层的二叉树若前h-1层是满的，最后一层是连续缺失右边的若干个结点。

对于完全二叉树存在：

（1）若结点编号为i的结点存在左子女，左子女编号为2i，若存在右子女，则右子女的结点编号为2i+1。

（2）编号为i的结点若存在双亲结点，则双亲结点的编号为i/2向下取整。

5.理想平衡二叉树：一棵h层的二叉树前h-1层是满的，最后一层的叶子结点可任意摆放。

二叉树存储的实现：

（1）顺序存储：将二叉树存储在内存中一块连续的存储单元中，数组的元素个数取决于二叉树的层数。

（2）将二叉树的每个结点的编号作为该结点在数组中的存储下标。

（3）将根节点存放在下标为1的单元里。

（4）若下标为i的单元存在左子女，则左子女的下标为2i，若存在右子女，右子女的下标为2i+1。

6.中根查找顺序

对于一个给定的二叉树，如果要对其进行遍历可以有前序遍历、中序遍历、后序遍历基本的三种遍历方式，这三种遍历方式都是相对于根而言的。比如中序遍历，就是先访问左子树，再访问根，最后访问右子树，意思就是根的访问顺序在中间。

对于一棵给定的二叉树：



中序遍历的顺序为：10, 42, 45, 55, 58, 63, 67, 70, 83, 90, 98。

从这个遍历顺序可以看出正好是一个从小到大的排过序的顺序，这是在构建二叉树的时候就可以做到的，在构建二叉树的时候，选择好根节点，比根节点小的数放到根节点的左子树，比根节点大的数放到根节点的右子树即可。

例如给出一个序列：63, 42, 45, 67, 70。

访问到63，将其作为根节点，访问到42<63则作为63的左子树，访问到45<63放到63的左子树上，而45>42所以放到42的右子树上，访问到67>63，则将67作为63的右子树，访问到70>63应该放在63的右子树上，而进一步有70>67，则70应该作为67的右子树，所以可以得到下面的二叉树：

63

/ \

42 67

\ \

45 70

7.二叉树的链式存储

结点类型：left域、data域、right域

left域：用来存放左子女的地址，若不存在左子女，left域为空。

data域：用来存放该结点的数据。

right域：用来存放右子女的地址，若不存在右子女，right域为空。

8.二叉搜索树

若树中左子女的值都小于根节点的值，右子女的值都大于根节点的值，这样的二叉树叫做二叉搜索树。

AVL树本质上还是一棵二叉搜索树（因此读者可以看到我后面的代码是继承自二叉搜索树的），它的特点是：

(1) 本身首先是一棵二叉搜索树。

(2) 带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。

9.二叉树的数组实现方式

分析：首先给定一个二叉树之后，就可以知道该二叉树的层次数h，然后创建一个2^h = 2^h - 1 + 1个元素的数组，加1的目的是因为数组的0下标是不用的，根节点存放在下标为1的单元中。所有数组中没有用到的单元，均赋值为二叉树中数值域不包含的值，这样在遍历的时候就可以将这个值作为判断的依据。

#include <stdio.h>

void create_btree(int list[], int bt[], int n) /*n表示list数组中元素的个数*/
{
int i, order;

bt[1] = list[0];
for(i = 1; i < n; i++)
{
order = 1; /*每次进来从根结点开始比较*/
while(bt[order] != 0)
{
if(list[i] < bt[order])
order *= 2;
else
order = order*2 + 1;
}
bt[order] = list[i];
}
}

int main()
{
int list[7] = {30, 18, 16, 25, 34, 7, 31};
int bt[16] = {0};
int i;

create_btree(list, bt, 7);
for(i = 0; i < 16; i++) /*按层输出*/
if(bt[i] != 0)
printf("%4d", bt[i]);
printf("\n");

return 0;
}

程序的输出结果：



二叉树的链表实现：

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>

#define NULL	0

typedef struct tree
{
int data;
struct tree *left, *right;
}ElemBT;

void create_btree(ElemBT *root, int list[], int n) /*n表示list数组中元素的个数*/
{
int i;
ElemBT *current, *parent, *p;

for(i = 1; i < n; i++)
{
p = (ElemBT *)malloc(sizeof(ElemBT));
p->left = p->right = NULL;
p->data = list[i];
current = root;
while(current != NULL)
{
parent = current;
if(current->data > p->data)
current = current->left;
else
current = current->right;
}
if(parent->data > p->data)
parent->left = p;
else
parent->right = p;
 }
}

int main()
{
int list[7] = {30, 18, 16, 25, 34, 7, 31};
ElemBT *root;

root = (ElemBT *)malloc(sizeof(ElemBT));
root->data = list[0];
root->left = root->right = NULL;
create_btree(root, list, 7);

return 0;
}