数据结构 最小生成树（普里姆算法）

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或Prim（普里姆）算法求出。

概述

在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在
T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得

的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。



最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

许多应用问题都是一个求无向连通图的最小生成树问题。例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同；另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

#include <iostream>
using namespace std;
#define INFINITY 65535;
typedef struct
{
int vex[max];					//顶点表
int arc[max][max];				//领接矩阵，可以看作表
int numvex,numedge;				//图中的当前的顶点数和边数
}Mgraph;

void create(Mgraph *g)				 //构建图的领接矩阵
{
int i,j,k,w;
cout<<"请输入顶点数和边数"<<endl;
cin>>g->numvex>>g->numedge;
for(i=0;i<g->numvex;i++)
cin>>g->vex[i];
for(i=0;i<g->numvex;i++)
for(j=0;j<g->numvex;j++)
g->arc[i][j]=INFINITY;
for(k=0;k<g->numedge;k++)       //输入权
{
cout<<"输入边（vi,vj）上的下标i,下标j和权w："<<endl;
cin>>i>>j>>w;
g->arc[i][j]=w;
g->arc[j][i]=g->arc[i][j];  //因为图是无向图，矩阵对称
}
}

void minispantree_prim(Mgraph *g)
{
int min,i,j,k;
int adjvex[max];	//保存相关顶点下标
int lowcost[max];   //保存相关顶点间边的权值
lowcost[0]=0;		//初始化第一个权值为0，即V0加入生成树
//	lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树中了
adjvex[0]=0;  // 初始化第一个顶点下标为0
for(i=1;i<g->numvex;i++)
{
lowcost[i]=g->arc[0][i]; // 把与V0顶点与之有关的权值存入数组
adjvex[i]=0;			//  初始化都为V0的下标
}
for(i=1;i<g->numvex;i++)
{
min=INFINITY;		//	初始化最小权值为无穷
j=1;k=0;
while(j<g->numvex)	//	循环全部顶点
{
if(lowcost[j]!=0&&lowcost[j]<min)
{
min=lowcost[j];  //则让当前权值成为最小值
k=j;			//将当前最小值的下标存入K
}
j++;
}
cout<<adjvex[k]<<"     "<<k;  //打印当前顶点边中权值最小边
lowcost[k]=0;				  //将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务
for(j=1;j<g->numvex;j++)
{
if(lowcost[j]!=0&&g->arc[k][j]<lowcost[j])
{ //若下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值
lowcost[j]=g->arc[k][j];  //将较小权值存入lowcost
adjvex[j]=k;           //将下标为K的顶点存入adjvex
}
}
}

}

int main()
{
Mgraph * g=new Mgraph;
create(g);
minispantree_prim(g);

return 0;
}