GCD及其扩展GCD详解

扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程。

　　设过s步后两青蛙相遇，则必满足以下等式：

　　　　(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)

　　稍微变一下形得：

　　　　(n-m)*s+k*l=x-y

令n-m=a,k=b,x-y=c,即

　　　　a*s+b*l=c

　　只要上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。

　　首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值，看是否存在s,l的整数解，若存在则输入最小的s，

但显然这种方法是不可取的，谁也不知道最小的s是多大，如果最小的s很大的话，超时是明显的。

　　其实这题用欧几里德扩展原理可以很快的解决，先来看下什么是欧几里德扩展原理：

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：　

　　int Gcd(int a, int b)
　　{
　　if(b == 0)
　　return a;
return Gcd(b, a % b);
　　}

　　当然你也可以写成迭代形式：

　　int Gcd(int a, int b)
　　{
　　while(b != 0)
　　{
　　int r = b;
　　 b = a % b;
　　 a = r;
　　}
　　return a;
　　}

　　本质上都是用的上面那个原理。

　　补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使

用C++的实现：

　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
　　{
　　if(b == 0)
　　{
　　x = 1;
　　y = 0;
　　 return a;
　　}
　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);
　　int t = x;
　　x = y;
　　y = t - a / b * y;
　　 return r;
　　}　　

把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

　　可以这样思考:

　　对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

　　由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

　　那么可以得到:

　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y).

求解 x，y的方法的理解

　　设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab<>0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

　　这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以

　结束。

　　在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题，可都没有说全，都只说了一部分，看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程，步骤如下：

　　求a * x + b * y = c的整数解。

　　1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = c'，此时Gcd(a',b')=1;

2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则c' * x0,c' * y0是方程a' * x + b' * y = c'的一组整数解；

　　3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = c'的所有整数解为：

　　　　其实我们求得的解只是一组，

　　　　a*x0+lcm(a,b)+b*y0-lcm(a,b)=1;

　　　　a*x                +b*y              =1;

　　　　x=x0+b/gcd(a,b);y=y0-a/gcd(a,b);

　　　　a/gcd(a,b)*x'+b/gcd(a,b)*y'=c/gcd(a,b);

　　　　x'=c/gcd(a,b)*x0+b/gcd(a,b);y'=c/gcd(a,b)*y0-a/gcd(a,b);

x = c' * x0 + b' * t
y = c' * y0 - a' * t
(t为整数)

　　　 上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。