[LeetCode系列]卡特兰数(Catalan Number) 在求解独特二叉搜寻树(Unique Binary Search Tree)中的应用分析

本文原题: LeetCode.

给定 n, 求解独特二叉搜寻树 (binary search trees) 的个数.

什么是二叉搜寻树?

二叉查找树（Binary Search Tree），或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

举个栗子,

给定 n = 3, 共有 5 个.

1         3     3      2      1
\       /     /      / \      \
3     2     1      1   3      2
/     /       \                 \
2     1         2                 3

 

本题的解题思路如下:

设n对应的BST个数为h(n), n-1对应的个数为h(n-1)...依此类推.

那么,

把1放在根节点, 2...n放在右侧,           总种类是h(1) * h(n-1)
把2放在根节点, 1放在左侧, 3...n放在右侧, 总种类是h(2) * h(n-2)
....
把n放在根节点, 1...n-1放在左侧,         总种类是h(n-1) * h(1)
所以h(n) = h(1) * h(n-1) + h(2) * h(n-2) +...+ h(n-2) * h(2) + h(n-1) * h(1)

上述h(n)表达式即为卡特兰数.(幽兰止水的CSDN博客)

 

 下面是实现的C++代码:

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if (n < 0) return 0;
        vector<int> h(n+1, 0);
        h[0] = 1;
   
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 0; j < i; j++)
                h[i] += h[j] * h[i-j-1];
   
        return h
;
    }
};

第一行做输入检测.

第二, 三行定义树的种类向量h, 长度为n+1, 定义h[0]值为1, 因为1节点的情况下只有1种可能.

之后是一个二层嵌套for循环, 大循环控制计算h的下标i, 小循环按照i的值依次计算h[1,2,3,...,n].

详细讲一下小循环, h[i]是当前计算的种类数, 它等于h[0]*h[i-1] + h[1]*h[i-2] + ... + h[i-1]*h[0] 和上面提到的卡特兰数相符. (需要注意的是, 每层小循环都需要前i-1个h的值.)

返回的是h
, 即h向量中的第n+1个数, 但对应于n个节点的情况.

[本代码存疑]