[leetcode] pow(x,n)
2014-06-12 22:22
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实现浮点类型的幂运算,函数原型为:
double pow(double x, int n)
下面介绍一下解决该问题的几种方法以及要注意的地方:
1)最直观容易想到的方法就是用递归方法求n个x的乘积,注意考虑n的正负号,时间复杂度为O(n)
(注:有一个小问题,当n < 0时,此方法直接返回return 1.0/pow(x,-n)实际上是错误的,例如当int为32位时,n的最小值为-2147483648(-2^31),-n为2147483648,溢出。故原文作者在本篇文章末尾提出了修改的方法return 1.0 / (pow(x,INT_MAX)*x))
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double pow(double x, int n)
{
if(n==0)
return 1.0;
if(n<0)
return 1.0/pow(x,-n);
return x*pow(x,n-1);
}
2)考虑到n个x相乘式子的对称关系,可以对上述方法进行改进,从而得到一种时间复杂度为O(logn)的方法,递归关系可以表示为pow(x,n) = pow(x,n/2)*pow(x,n-n/2)
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double pow(double x, int n)
{
if(n==0)
return 1.0;
if(n<0)
return 1.0/pow(x,-n);
double half = pow(x,n>>1);
if(n%2==0)
return half*half;
else
return half*half*x;
}
3)除了上述方法,这里还提到了一种十分巧妙并且快速的方法,原文描述如下:
Consider the binary representation of n. For example, if it is "10001011", then x^n = x^(1+2+8+128) = x^1 * x^2 * x^8 * x^128. Thus, we don't want to loop n times to calculate x^n. To speed up, we loop through each bit, if the i-th bit is 1, then we add x^(1
<< i) to the result. Since (1 << i) is a power of 2, x^(1<<(i+1)) = square(x^(1<<i)). The loop executes for a maximum of log(n) times.
该方法通过扫描n的二进制表示形式里不同位置上的1,来计算x的幂次
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double my_pow(double x, int n)
{
if(n==0)
return 1.0;
if(n<0)
return 1.0 / pow(x,-n);
double ans = 1.0 ;
for(; n>0; x *= x, n>>=1)
{
if(n&1>0)
ans *= x;
}
return ans;
}
为了正确计算x的n次幂,还需要考虑到以下一些情况:
1) x取值为0时,0的正数次幂是1,而负数次幂是没有意义的;判断x是否等于0不能直接用“==”。
2) 对于n取值INT_MIN时,-n并不是INT_MAX,这时需要格外小心。
3) 尽量使用移位运算来代替除法运算,加快算法执行的速度。
最后附上自己在LeetCode上Accepted的代码:
[cpp] view
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class Solution {
public:
double pow(double x, int n) {
// Start typing your C/C++ solution below
// DO NOT write int main() function
if(n<0)
{
if(n==INT_MIN)
return 1.0 / (pow(x,INT_MAX)*x);
else
return 1.0 / pow(x,-n);
}
if(n==0)
return 1.0;
double ans = 1.0 ;
for(;n>0; x *= x, n>>=1)
{
if(n&1>0)
ans *= x;
}
return ans;
}
};
double pow(double x, int n)
下面介绍一下解决该问题的几种方法以及要注意的地方:
1)最直观容易想到的方法就是用递归方法求n个x的乘积,注意考虑n的正负号,时间复杂度为O(n)
(注:有一个小问题,当n < 0时,此方法直接返回return 1.0/pow(x,-n)实际上是错误的,例如当int为32位时,n的最小值为-2147483648(-2^31),-n为2147483648,溢出。故原文作者在本篇文章末尾提出了修改的方法return 1.0 / (pow(x,INT_MAX)*x))
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double pow(double x, int n)
{
if(n==0)
return 1.0;
if(n<0)
return 1.0/pow(x,-n);
return x*pow(x,n-1);
}
2)考虑到n个x相乘式子的对称关系,可以对上述方法进行改进,从而得到一种时间复杂度为O(logn)的方法,递归关系可以表示为pow(x,n) = pow(x,n/2)*pow(x,n-n/2)
[cpp] view
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double pow(double x, int n)
{
if(n==0)
return 1.0;
if(n<0)
return 1.0/pow(x,-n);
double half = pow(x,n>>1);
if(n%2==0)
return half*half;
else
return half*half*x;
}
3)除了上述方法,这里还提到了一种十分巧妙并且快速的方法,原文描述如下:
Consider the binary representation of n. For example, if it is "10001011", then x^n = x^(1+2+8+128) = x^1 * x^2 * x^8 * x^128. Thus, we don't want to loop n times to calculate x^n. To speed up, we loop through each bit, if the i-th bit is 1, then we add x^(1
<< i) to the result. Since (1 << i) is a power of 2, x^(1<<(i+1)) = square(x^(1<<i)). The loop executes for a maximum of log(n) times.
该方法通过扫描n的二进制表示形式里不同位置上的1,来计算x的幂次
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double my_pow(double x, int n)
{
if(n==0)
return 1.0;
if(n<0)
return 1.0 / pow(x,-n);
double ans = 1.0 ;
for(; n>0; x *= x, n>>=1)
{
if(n&1>0)
ans *= x;
}
return ans;
}
为了正确计算x的n次幂,还需要考虑到以下一些情况:
1) x取值为0时,0的正数次幂是1,而负数次幂是没有意义的;判断x是否等于0不能直接用“==”。
2) 对于n取值INT_MIN时,-n并不是INT_MAX,这时需要格外小心。
3) 尽量使用移位运算来代替除法运算,加快算法执行的速度。
最后附上自己在LeetCode上Accepted的代码:
[cpp] view
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class Solution {
public:
double pow(double x, int n) {
// Start typing your C/C++ solution below
// DO NOT write int main() function
if(n<0)
{
if(n==INT_MIN)
return 1.0 / (pow(x,INT_MAX)*x);
else
return 1.0 / pow(x,-n);
}
if(n==0)
return 1.0;
double ans = 1.0 ;
for(;n>0; x *= x, n>>=1)
{
if(n&1>0)
ans *= x;
}
return ans;
}
};
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