在一个无序整型数组中找出第k小的数字

问题描述：在一个无序整型数组中找出第k小的数字：

示例：数组[16, 105, 3, 31, 61, 50, 61, 80, 78, 49] 结果 k=50

算法：分治算法+快速排序

思路：如果在递增有序的数组中,第k小的数字必然在k-1位置上。而对于初始无序的数组，快速排序在每次排序完成后，在枢纽值（哨兵/pivot）左边的值会永远在其左边，而在其右边的值永远会在其右边，那们根据k-1与pivot的数组下标比较，就能知道k-1数字在pivot左侧还是右侧。从而可以进一步缩小搜索范围继续快速排序直至最终确定k-1位置

算法实现：

[c-sharp] view
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package test;



import java.util.Arrays;

import java.util.Random;



import org.junit.Before;

import org.junit.Test;



/**

* 在一个无序整型数组中找出第k小的数字

* 时间复杂度：O(nlog^n)

* 算法：分治算法

* @author gaoyusi

* @see http://blog.csdn.net/gaoyusi4964238/archive/2010/05/23/5618327.aspx

*/

public class TestKth {



public static final int LEN=10;



public static final int K=5;



private int [] list;



private Random random;



public int getKthValue(int[] list,int low, int high, int k){

if(low==high&&high==k)//防止找到k位置时只有一个元素

return list[k];



if(low>=high)

return -1;



int i=low;

int j=high;

int pivot=list[i];

while(i<j){

while(list[j]>=pivot&&i<j) j--;

list[i]=list[j];



while(list[i]<=pivot&&i<j) i++;

list[j]=list[i];

}

list[i]=pivot;



//k在哪个区间就去相应区间去找，不在的话弃掉

if(i==k){

return list[i];

}else if(k>i){

return getKthValue(list,i+1,high,k);

}else{

return getKthValue(list,low,i-1,k);

}



}



@Before

public void before(){

random=new Random();



list=new int[LEN];

for(int i=0;i<list.length;i++){

list[i]=random.nextInt(LEN+100);

}

}



@Test

public void testKthValue(){

System.out.println("the Array:"+Arrays.toString(list));

int kVal=getKthValue(list,0,list.length-1,K-1);



System.out.println("the value of "+K+" :"+kVal);

}

}

所谓“第（前）k大数问题”指的是在长度为n(n>=k)的乱序数组中S找出从大到小顺序的第（前）k个数的问题。

解法1： 我们可以对这个乱序数组按照从大到小先行排序，然后取出前k大，总的时间复杂度为O(n*logn + k)。

解法2： 利用选择排序或交互排序，K次选择后即可得到第k大的数。总的时间复杂度为O(n*k)

解法3： 利用快速排序的思想，从数组S中随机找出一个元素X，把数组分为两部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。这时有两种情况：

1. Sa中元素的个数小于k，则Sb中的第k-|Sa|个元素即为第k大数；

2. Sa中元素的个数大于等于k，则返回Sa中的第k大数。时间复杂度近似为O(n)

解法4： 二分[Smin,Smax]查找结果X，统计X在数组中出现，且整个数组中比X大的数目为k-1的数即为第k大数。时间复杂度平均情况为O(n*logn)

解法5：用O(4*n)的方法对原数组建最大堆，然后pop出k次即可。时间复杂度为O(4*n + k*logn)

解法6：维护一个k大小的最小堆，对于数组中的每一个元素判断与堆顶的大小，若堆顶较大，则不管，否则，弹出堆顶，将当前值插入到堆中。时间复杂度O(n * logk)

解法7：利用hash保存数组中元素Si出现的次数，利用计数排序的思想，线性从大到小扫描过程中，前面有k-1个数则为第k大数，平均情况下时间复杂度O(n)

附注：

1. STL中可以用nth_element求得类似的第n大的数（由谓词决定），使用的是解法3中的思想，还可以用partial_sort对区间进行部分排序，得到类似前k大的数（由谓词决定），它采用的是解法5的思想。

2. 求中位数实际上是第k大数的特例。

《编程之美》2.5节课后习题：

1. 如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢？比如，含有10个浮点数的数组（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，- 1.5，3.5）中最大的3个不同的浮点数是（5，3.5，2.5）。

解答：上面的解法均适用，需要注意的是浮点数比较时和整数不同，另外求hashkey的方法也会略有不同。

2. 如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的数呢？

解答：如果把问题看做m-k+1个第k大问题，则前面解法均适用。但是对于类似前k大这样的问题，最好使用解法5或者解法7，总体复杂度较低。

3. 在搜索引擎中，网络上的每个网页都有“权威性”权重，如page rank。如果我们需要寻找权重最大的K个网页，而网页的权重会不断地更新，那么算法要如何变动以达到快速更新（incremental update）并及时返回权重最大的K个网页？

提示：堆排序？当每一个网页权重更新的时候，更新堆。还有更好的方法吗？

解答：要达到快速的更新，我们可以解法5，使用映射二分堆，可以使更新的操作达到O(logn)

4. 在实际应用中，还有一个“精确度”的问题。我们可能并不需要返回严格意义上的最大的K个元素，在边界位置允许出现一些误差。当用户输入一个query的时候，对于每一个文档d来说，它跟这个query之间都有一个相关性衡量权重f (query, d)。搜索引擎需要返回给用户的就是相关性权重最大的K个网页。如果每页10个网页，用户不会关心第1000页开外搜索结果的“精确度”，稍有误差是可以接受的。比如我们可以返回相关性第10 001大的网页，而不是第9999大的。在这种情况下，算法该如何改进才能更快更有效率呢？网页的数目可能大到一台机器无法容纳得下，这时怎么办呢？

提示：归并排序？如果每台机器都返回最相关的K个文档，那么所有机器上最相关K个文档的并集肯定包含全集中最相关的K个文档。由于边界情况并不需要非常精确，如果每台机器返回最好的K’个文档，那么K’应该如何取值，以达到我们返回最相关的90%*K个文档是完全精确的，或者最终返回的最相关的K个文档精确度超过90%（最相关的K个文档中90%以上在全集中相关性的确排在前K），或者最终返回的最相关的K个文档最差的相关性排序没有超出110%*K。

解答：正如提示中所说，可以让每台机器返回最相关的K'个文档，然后利用归并排序的思想，得到所有文档中最相关的K个。 最好的情况是这K个文档在所有机器中平均分布，这时每台机器只要K' = K / n （n为所有机器总数）；最坏情况，所有最相关的K个文档只出现在其中的某一台机器上，这时K'需近似等于K了。我觉得比较好的做法可以在每台机器上维护一个堆，然后对堆顶元素实行归并排序。

5. 如第4点所说，对于每个文档d，相对于不同的关键字q1, q2, …, qm，分别有相关性权重f（d, q1），f（d, q2）, …, f（d, qm）。如果用户输入关键字qi之后，我们已经获得了最相关的K个文档，而已知关键字qj跟关键字qi相似，文档跟这两个关键字的权重大小比较靠近，那么关键字qi的最相关的K个文档，对寻找qj最相关的K个文档有没有帮助呢？

解答：肯定是有帮助的。在搜索关键字qj最相关的K个文档时，可以在qj的“近义词”相关文档中搜索部分，然后在全局的所有文档中在搜索部分。