二叉查找树（二叉排序树、有序二叉树）算法分析及实现

二叉查找树一般采用二叉链表作为其存储结构，我们这次也采用这样的实现。二叉查找树一般有查找、插入和删除等操作，其中查找是基础，没有查找，插入和删除则无从谈起；而删除算是难点，需处理四种不同的情况，分别是：

无左右孩子，（采取直接删除，须处理其父节点指针）

只有左孩子，（采取其父节点指针指向其左孩子）

只有右孩子、（采取其父节点指针指向其右孩子）

左右孩子都存在，（采取以直接前驱或直接后继代替，实现中我们采用直接前驱代替）。

查找的过程比较简单，如果该节点不为空，若其值大于key（要查找的值），则继续查找其左孩子；若其值小于key（要查找的值），则继续查找其右孩子；如果是等于，那么就找到了！

需要特别注意的一点是，查找是不会修改数的结构的，而插入和删除都会改变树的结构，所以在查找中我们传入的参数只是指向根节点的指针，而在插入和删除中我们传入的参数是指针引用，因为插入和删除有可能会改变根节点。举个例子，如果在删除函数中我们传入的只是指向根节点的指针，我们在删除最后一个元素后会得到一颗空树，我们当然可以在删除函数中设置T=NULL（注意是大写的），但是在主函数中呢？会出现什么情况呢？出现的情况是原来指向这棵树的根节点指向了一个无效地址，以后的操作就会出错。总而言之，要注意空树的处理。

二叉查找树的时间性能是其树的高度，平均为O（logn），最坏为O（n）。

实现如下：

#include<iostream>

using namespace std;

typedef int KeyType;

typedef struct BiTree
{
KeyType data;
struct BiTree *lchild;
struct BiTree *rchild;
}BiTree;

bool SearchBST( BiTree *T,KeyType key,BiTree *&f,BiTree *&p); // f为p的父节点，f==p其实是表示f与p都指向了根节点,查找成功时p指向目标节点，失败时p指向最后查找到的节点
bool InsertBST(BiTree *&T,KeyType key); //
bool DeleteBST(BiTree *&T,KeyType key); //
void DeleteNode(BiTree *&T,BiTree *f,BiTree *p); //
void MidOrderTraverse(BiTree *T); //

bool SearchBST( BiTree *T,KeyType key,BiTree *&f,BiTree *&p) // BiTree *&p,p为指针的引用;f为p的父节点
{
f=T;
p=T;
while(T!=NULL&&T->data!=key)
{
if(key<T->data)
{
f=p;
p=T;
T=T->lchild;
}
else
{
f=p;
p=T;
T=T->rchild;
}
}
if(T!=NULL) //T->data==key
{
f=p;
p=T;
return true; //找到了
}
else
{
return false; //未找到
}
}

bool InsertBST(BiTree *&T,KeyType key)
{
BiTree *p=NULL;
BiTree *f=NULL;
if(!SearchBST(T,key,f,p)) //未找到
{
BiTree *s=new BiTree();
s->data=key;
s->lchild=s->rchild=NULL;
if(T!=NULL) //由原来的p!=NULL换成了T！=NULL
{
if(key<p->data)
{
p->lchild=s;
}
else
{
p->rchild=s;
}
}
else //原来的是空树
{
T=s;
}
return true;
}
else // 有相同数据，则不再插入
{
return false;
}
}

void MidOrderTraverse(BiTree *T)
{
if(T!=NULL)
{
MidOrderTraverse(T->lchild);
cout<<T->data<<" ";
MidOrderTraverse(T->rchild);
}
}

bool DeleteBST(BiTree *&T,KeyType key)
{
BiTree *p=NULL;
BiTree *f=NULL;
if(SearchBST(T,key,f,p)) // 找到了该节点
{
DeleteNode(T,f,p);
return true;
}
else
{
return false;
}
}

void DeleteNode(BiTree *&T,BiTree *f,BiTree *p)
{
if(p->lchild==NULL&&p->rchild==NULL)
{
if(p==T) //由原来的p==f换成了p==T，p==T表示要删除的就是根节点，如果是下面的三种情况，因为有其他的节点替代也没什么
{ //关键出现在这里，该树就只有一个节点，删除了其为空树。
T=NULL;

}
else if(f->lchild==p)
{
f->lchild=NULL;
}
else
{
f->rchild=NULL;
}
delete p;

}
else if(p->lchild==NULL)
{
BiTree *q=p->rchild;
p->data=q->data;
p->lchild=q->lchild;
p->rchild=q->rchild;
delete q;
}
else if(p->rchild==NULL)
{
BiTree *q=p->lchild;
p->data=q->data;
p->lchild=q->lchild;
p->rchild=q->rchild;
delete q;
}
else
{
BiTree *q=p;
BiTree *s=p->lchild;
while(s->rchild!=NULL)
{
q=s;
s=s->rchild;
}
p->data=s->data;
if(p==q)
{
p->lchild=s->lchild;
}
else
{
q->rchild=s->lchild;
}
delete s;
}
}

int main()
{
BiTree *T=NULL;
InsertBST(T,1);

DeleteBST(T,1);
MidOrderTraverse(T);

InsertBST(T,3);
InsertBST(T,4);
InsertBST(T,2);
InsertBST(T,8);
InsertBST(T,5);
InsertBST(T,6);
InsertBST(T,7);

DeleteBST(T,3);
DeleteBST(T,2);
DeleteBST(T,8);
DeleteBST(T,7);
DeleteBST(T,5);
DeleteBST(T,6);
DeleteBST(T,1);
MidOrderTraverse(T);

}