动态规划0-1背包问题

最近看了一些简单的动态规划方面的例题 在学习的过程中发现 有的问题虽然不难 但是第一次看还是会有些问题

所以把自己弄0-1背包的问题拿出来给大家分享 不喜勿喷 网上资源特别多

讲解什么的就算了 其他人画的图都不错

递推关系：

设所给0-1背包问题的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i，j)的递归式:



上式此时背包容量为j，可选择物品为i。此时在对xi作出决策之后,问题处于两种状态之一:

(1)背包剩余容量是j,没产生任何效益；

(2)剩余容量j-wi,效益值增长了vi ；

我写的代码 看完看有没有启发

package org.bq.dp;

/**
* 0-1背包问题
*
* @author 白强原创
* @version 1.0
*/
public class OneZero {
// 最大背包容量
private static final int M = 10;
// 物品数量
private static final int N = 3;
// 物品重量数组 给它数组前面加一个0项是为了更好的表达这种关系 比方从一个到全部物品的时候i=2的使用w[i]=4避免减1使用w[i-1]麻烦
private static final int[] w = { 0, 3, 4, 5 };
// 物品价值数组
private static final int[] v = { 0, 4, 5, 6 };

public static void main(String[] args) {
// 首先我们应该定义一个数组来记录选择的表 由于零的存在我应该吧他定义的大一些
int[][] select = new int[N + 1][M + 1];
int result = knapsack(select);
System.out.println("The max value is : " + result);
int leftSpace = M;
// 输出所选择的物品列表：
for (int i = N; i >= 1; i--) {
if (leftSpace >= w[i]) {
// 如何确定物品被选 只需要从价值表得到
// 它的价值和剩余物品容量对应的价值-价值表中上排的剩余物品容量减去本物品的重量的价值==当前物品的价值
if ((select[i][leftSpace] - select[i - 1][leftSpace - w[i]] == v[i])) {
System.out.println("物品 " + i + " 重量为: " + w[i] + " 价值为: "
+ w[i] + " is selected!");
// 如果第i个物品被选择，那么背包剩余容量将减去第i个物品的重量
leftSpace = leftSpace - w[i];
}
}
}
}

/**
* 这是程序的算法实现
*
* @param select是一个记录价值的数组它的下标
*            [i][j] i代表当前放入物品从1到N j代表当前背包容量从1到M
* @return 最大价值
*/
public static int knapsack(int[][] select) {
// 当前放入物品为零很明显它的价值全是零
for (int j = 1; j <= M; ++j)
select[0][j] = 0;
// 基本算法思想上在装入一个或多个物品的时候让背包容量从1到最大 再看每一次的情况 首先能不能装 能装再看价值比较
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
// 只要select[i][j] j=0即背包容量为0时，最大价值肯定为0
select[i][0] = 0;
// 背包容量j从小到大一直往上走直到M
for (int j = 1; j <= M; ++j) {
// 当前物品i的重量小于等于背包容量j，进行选择
if (w[i] <= j) {
/*
* 如果本物品的价值加上背包还能放物品的价值(如何得到 剩余物品重量=当前背包容量-当前物品，
* 得到剩余物品的重量后在上排查询得到剩余物品的价值) 如果大于上排的值则放入
*/
if ((v[i] + select[i - 1][j - w[i]]) > select[i - 1][j])
select[i][j] = v[i] + select[i - 1][j - w[i]];
else
// 直接使用上排的值
select[i][j] = select[i - 1][j];
} else {
// 当前物品还不能放入 所以还得使用上排的结果
select[i][j] = select[i - 1][j];
}
}
}

return select
[M];

}
}

输出结果如下



看一个表格我画的 表示了这个放入的过程 可以更好看出变换

编号	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	4	4	4	4	4	4	4	4
2	0	0	0	4	5	5	5	9	9	9	9
3	0	0	0	4	5	6	6	9	10	11	11

重量w = { 0, 3, 4, 5 };价值v = { 0, 4, 5, 6 };