概率论快速学习01：计数

2014-05-15 22:02 by Jeff Li

前言

　　系列文章：[传送门]
　　马上快要期末考试了，为了学点什么。就准备这系列的博客，记录复习的成果。

　　　　　

正文-计数 　

概率

　　概率论研究随机事件。它源于赌徒的研究。即使是今天，概率论也常用于赌博。随机事件的结果是否只凭运气呢？高明的赌徒发现了赌博中的规律。尽管我无法预知事件的具体结果，但我可以了解每种结果出现的可能性。这是概率论的核心。
　　“概率”到底是什么？这在数学上还有争议。“频率派”认为概率是重复尝试多次，某种结果出现的次数在尝试的总次数的比例。“贝叶斯派”认为概率是主观信念的强弱。幸好，这些争议并不影响我们在日常生活中使用“概率”哲学。天气预报的降雨概率为80%时，很多人会因此带上伞。报纸会分析一场球赛某支球队的赢球概率，如果最终赢球概率为10%的球队取胜，那么球迷会感到惊讶。这结果是小概率事件。
　　要知道某个结果的概率并不容易。上面分析球队的赢球概率，要考虑许多因素。投一个骰子，有6种可能的结果。物理情况会影响结果的概率，比如撒子是否均匀，比如掷撒子的人是否有技巧偏向。如果骰子是均匀的，且没有作弊，那么每种结果出现的概率相同。为了能从数学上给结果分配一个概率，我们往往会加上一些假设。这些假设有理想化的成份，但并不至于偏离现实。比如，我们说掷撒子，撒子均匀，掷的人也没有什么特殊手法，并由此推断每种结果出现的可能相同。那么，其中任意一个结果出现的概率为1/6。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 


 

基本计数原理

计数的基本原理叙述如下:
　　如果一个实验可以分为m个步骤，每个步骤分别有n1,n2,...,nm种可能，那么总共会下面
有种可能的结果。

n1×n2×...×nm

 
 
　　基本技术原理的核心是“分步”。对于简单的一个步骤的事情，我们能比较直接的分辨结果的总数。
 

有序的重复抽样

　　从数学上来说，如果进行m次有放回的抽样，每次抽样都有n种可能。如果最终结果有序，那么将有nm种可能。
 
考虑下面的问题:
一个骰子连续掷2次，所有可能的结果有多少个？
模拟例子:(python系列文章)

import itertools

a = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
outcomes = list(itertools.product(a, a))

print(outcomes)
print(len(outcomes))

 
#itertools 相关文档
 
会有下面的结果:

[(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)]

36

#所以出现的概率P=1/36。

 

有序的非重复抽样

 　　有序的非重复抽样又叫做排列(permutation)。从数学上来说，从n个样品中挑选m个，放入m个位置，将有n×(n−1)×...×(n−m+1)种可能。如果我们使用阶乘(factorial)运算符，那么结果可以表示为

n!(n−m)!

 
 #其中，n!=1×2×...×(n−1)×n。
 
 考虑下面的问题:
我们用下面的程序来模拟队长组合的状况:

import itertools

a = ["Tom", "Lee", "King", "James"]
outcomes = list(itertools.permutations(a, 2))

print(outcomes)
print(len(outcomes))

 
# 相关文档
 
结果为

[('Tom', 'Lee'), ('Tom', 'King'), ('Tom', 'James'),
('Lee', 'Tom'), ('Lee', 'King'), ('Lee', 'James'),
('King', 'Tom'), ('King', 'Lee'), ('King', 'James'),
('James', 'Tom'), ('James', 'Lee'), ('James', 'King')]

#共有12种可能的结果。
 

无序的非重复抽样

　　m个样品有m!种排列方式。如果是从n个样品中抽取m个作为组合，所有的这m!种排序方式应该看做一种。因此，有n!(n−m)!m!种可能结果。我们可以用下面的方式记录组合:
 

(nm)=n!(n−m)!m!

 

 
考虑下面的问题:
从4个人中抽出2个人，有多少种可能？
 
下面来模拟:

import itertools

a = ["Tom", "Lee", "King", "James"]
outcomes = list(itertools.combinations(a, 2))

print(outcomes)
print(len(outcomes))

 
#相关文档
 
有以下结果

[('Tom', 'Lee'), ('Tom', 'King'), ('Tom', 'James'),
('Lee', 'King'), ('Lee', 'James'),
('King', 'James')]

#可以看到，从4个中挑选2个，有6种可能的组合。这是排列的一半。
 

无序的重复抽样

概括来讲，从n个样品中，无序的重复抽样m次，有
 

(n+m−1m−1)

 
 
 
 

阶乘与组合

我们在上面多次使用了阶乘运算，在Python中，它可以使用math.factorial实现:

import math
print(math.factorial(5))

 总结

　　
　　基本计数原理
　　排列
　　组合
　　（生活离不开寻找数学，你说呢？）
　　


 
 

感谢及资源共享

　　　　


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