平稳时间序列建模方法

平稳时间序列建模方法

一般用Box-Jenkins建模方法，但Pandit-Wu建模方法更简单。

一. 样本序列中均值处理方法

用样本的均值作为过程均值的估计，建模前先用样本数据减去这个均值，然后对所得的序列进行建模
把样本均值作为模型的一个未知参数进行估计

二. 模型识别

三类平稳序列的自相关函数和偏自相关函数具有如下统计特性,用作判断序列模型的依据

模型	AR(p)	MA(q)	ARMA(p,q)
自相关函数	拖尾	截尾	拖尾
偏自相关函数	截尾	拖尾	拖尾

1) 如果序列的自相关函数在q步截尾( k>q时,\(\rho_k=0\) ),而偏自相关函数被负指数函数控制收敛到零,则可判断序列为MA(q)序列.
可以证明, 当 k>n时, \(\phi_k\) 渐近于正态分布,即\[ \hat{\rho}_k \sim N[0, \frac{1}{N}(1+2\sum_{i=1}^{m} \rho_i^2)]\]对于每一个k>0,分别考察\(\hat { \rho } _{ k+1 },\hat { \rho } _{ k+2 },\hat { \rho } _{ k+3 },\cdots \) 中满足\[ |\hat{\rho}_{k+i}| \le \frac{1}{N}(1+2\sum_{j=1}^m \hat{\rho}_j^2)]^{1/2}, i=1,2,....,M\](M一般取 N/10或 \(\sqrt{N})\)的比例是否达到了68.3%, 若k=1,2,...,m-1,都未达到,而在k=m达到了,我们就说\(\rho_k\)在m步截尾.
2) 如果序列的偏自相关函数在p步截尾,并且自相关函数被负指数函数控制收敛到零,则可判断序列为AR(p)序列.可以证明,当k>n时, \(\phi_{kk}\)的分布渐进于 N(0,1/N),\[P|\hat{\phi}_{kk}|>1/\sqrt{N})=31.6\%,P|\hat{\phi}_{kk}|>2/\sqrt{N})=4.5\%\]
3) 如果序列的自相关函数和偏自相关函数均不截尾,但都被负指数函数控制收敛到零,则序列很可能是ARMA(p,q)序列
三. 模型定阶方法1. 残差方差图定阶方法
残差的方差\(\hat{\sigma}^2={残差平方和}/{(实际观测值个数-模型参数个数)}\), 故从残差方差图中可以估计出模型阶数(参数个数)
AR(p)模型: \(\hat{\sigma}^2\)=残差平方和/[(N-p)-(p+1)] = 残差平方和/(N-2p+1)MA(q)模型: \(\hat{\sigma}^2\)=残差平方和/(n-q-1)ARMA(p,q)模型: \(\hat{\sigma}^2\)=残差平方和/(N-2p-q-1)
判断原则: 残差方差小, 相应的模型阶数合理
2. F检验定阶法ARMA(p,q)模型的残差平方和 Q0, ARMA(p-1,q-1)模型的残差平方和Q1. 用F检验来确定两个模型是否有显著性差异.H0: 两个模型没有显著性差异统计量\[F=\frac{\frac{Q_1-Q_0}{2}}{\frac{Q_0}{(N-p)-(q+p)}} \sim F(2,N-2p-q)\] 3. 准则函数定阶法即确定一个准则函数,建模时按照该准则函数的取值大小确定模型的优劣,使准则函数达到极小值的就是最佳模型阶数.AIC
BIC

四. 模型参数估计

矩估计法 - 相对简单,计算量小,但精度低,只宜作为初估计
最小二乘估计法 - 精度高,计算量大,计算复杂
极大似然估计法

五. 模型的适应性检验

主要是残差序列的独立性检验
1. 相关函数法样本数充分大时,\(\hat{\rho}_k \sim N(0,1/N)\), 如果\(|\hat{\rho}_k| \le 1.96\sqrt{N}\),就可以在5%的显著水平下接受\(\rho_k=0\)
2. \(\chi^2\)检验法Box-Pierce统计量 \[Q=N\sum_{k=1}^{M}\hat{\rho}_k^2,M=N/10 或 \sqrt{N}\] 如果\(Q \le \chi^2_{1-\alpha}(M-p-q)\)就认为模型是合适的.Ljung-Box-Pierce统计量\[Q=N(N+2) \sum_{k=1}^{M}\hat{\rho}_k^2/(N-k)\]

六. Pandit-Wu建模方法

从一阶开始,逐渐增加模型阶数,拟合AR(2n,2n-1)模型,即二阶地增加模型阶数,直到F检验表明增加模型阶数而残差平方和不再显著减小为止,也即模型没有差异性.

七. 含有趋势模型

时间序列x(t)可能有趋势因素，有季节因素，有异常因素，有异方差情形。如有趋势因素，要得到平稳的序列有如下方法 1. Box-Jenkins建模方法是差分，再用ADF检验，不行就再差分，再用ADF检验，直到通过ADF检验。2. Pandit-Wu建模方法样本减去平均值， 如有季节因素，就用HEGY检验，在季节差分。得到平稳的序列 如有异常因素，就就用异常值检验。 如有异方差（用Ljung-Box Q统计量检验），就用ARCH，或GARCH模型

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