离散时间LTI系统：卷积和

好吧，作为电子信息工程专业的学生，《信号与系统》这门课程还是要学的。现在看的是《信号与系统》（奥本海姆）中文版。在学习的过程中坚持总结其中的收获，并写到博客上。

不得不说书本往往会把一些简单的现象或者本质复杂化，因为把一些现象用数学来描述就会显得复杂，可能有实际的例子给你看你会很快理解这是怎么回事，但是看到公式会感到头晕。是的，一大堆的公式往往会把一些简单的本质给掩盖。

下面来说一下离散线性时不变系统的卷积和。先弄清楚几个数学表达式。

输入信号X
:
表示在n时刻的输入，也可以理解为输入序列中的第n个输入，在0时刻，1时刻，2时刻.......对应着X[0]，X[1]，X[2]，........（第0个输入，第1个输入，第2个输入.....）
移位输入信号X[n-k]：
表示输入序列从k时刻开始输入，k时刻输入第0个 ：X[k-k]=X[0]，k+1时刻输入第1个：X[1]，k+2时刻输入第2个：X[2].........输入序列还是原来的序列，只不过输入所对应的时间改变了。

X
=

：

指 n 时刻的输入用脉冲来表示，任何一个输入都可以看成是由多个单位脉冲的叠加，所以 X
可表示为X
δ[0]，在离散信号中δ[0]只有宗量为0时才为1，其他为0。所以对于单位脉冲来说，X
为权，X
δ[0]称为加权了的脉冲（又说复杂了），说白了就是X
表示X
个单位脉冲的叠加。而通过δ[n-k]又能起到序列的筛选效果，因为只有当k=n时才不为0.所以就有了上面的数学表达式。表示n时刻的输入为X
个（这时只有k=n时有值）单位脉冲的叠加。

单位脉冲响应h
：
指的是对单位脉冲的响应，h[0]表示在单位脉冲输入时第0时刻的响应（起始响应），h[1]表示在响应发生后1时刻的响应（即离起始响应为1个时间段的响应），h[2]为离起始响应为2的响应，h[3]为第3时刻的响应..........即一个系统输入一个单位脉冲δ[0]时，响应从输入那一刻（即0时刻）起，随着时间的变化而变化分别是h[0]，h[1]，h[2].........，一个输入对应着一响应序列。当输入消失了，响应不一定会马上消失，随着发生响应后的时间的改变而改变。
单位移位脉冲响应h[n-k]
指的是移动了k个单位的单位脉冲响应，因为当输入为移位输入脉冲信号δ[n-k]（上面说了移位的概念）时，也就是说在n=k时刻才有起始输入δ[0]，同样的也是在k时刻有起始响应h[k-k]=h[0].接着就是k+1时刻响应为h[1]，k+2时刻，响应为h[2].............对于输入脉冲信号δ[n-k]，响应序列还是原来的序列，只不过在时间上改变了。以前在0时刻输入第一个响应h[0]，现在在k时刻输入，整个序列向右移了k个单位。

输入一个信号X[k]δ[n-k],所产生的响应：X[k]h[n-k]
当输入为X[k]δ
时，由线性性质的齐次性得响应（输出）为X[k]h
，又因为输入移了k位，所以响应也要跟着输入移位（什么时候开始有输入就什么时候开始有输出）
X[k]h[n-k]。 举个例子，假设k=2，即在n=2时刻输入一个信号（因为只有n=k时输入才有值，其它为0）X[2]δ[2-2]，即X[2]δ[0]，对于这个输入信号而言，响应为
X[2]h[2-2] = X[2]h[0]（即在2时刻有起始响应），随着时间的变化，在3时刻响应为X[2]h[1]，.......整个响应序列为X[2]h[0]，X[2]h[1]，X[2]h[2]........注意这是对于一个输入而言的。

好了说了那么多，并且那么啰嗦，下面来讨论卷积和。
一个信号对应着一个响应序列，那么如果随着时间的变化在每个时间点上都有信号呢？那在某一时刻的响应是什么，这时候的响应就是每一个输入在这一刻上的响应的叠加。这就是卷积和。举个例子：当要求3时刻的响应时，这时候的响应为每个输入在3时刻所产生的响应的和，第0个（即在0时刻）输入信号X[0]δ[0]在3时刻产生的响应为X[0]h[3-0]，第1个信号在3时刻所产生的响应为X[1]h[3-1]，第2个信号在3时刻所产生的响应为X[2]h[3-2]，第3个信号（即在3时刻）在3时刻所产生的响应为X[3]h[0]，所以在第三时刻所产生的响应为X[0]h[3-0]+X[1]h[3-1]+X[2]h[3-2]+X[3]h[0]。所以用一个通用的数学公式表示，得出在n时刻的响应为：
y
=


这就是卷积和，y
可表示成X[k]与h[n-k]的乘积在k=0到k=n上的累加。
这只是对于离散情况。下一篇再讲连续。