离散时间信号与系统
2015-03-01 10:14
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0. 复指数(或复正弦)序列的频率问题
复指数序列表达式ejωn中,n为无量纲数,因此ω的单位是弧度(所以频率分别为ω和ω+2PI的信号是相同的);相对应的连续域频率的单位是rad/s。
如果非要对应上的话,可以将复指数序列的频率单位看作弧度/采样点。
用单位圆上运动点的轨迹来演示:
连续域的频率是点的角速度(弧度/秒),比如1秒跑过两周,角速度(频率)就是4PI/s;
离散域的频率是点的角位置(弧度),一秒跑一周和一秒跑两周,角位置是一样一样的。
1. 一般复指数序列
一般性的复指数序列表达式x
=Aαn,A和α都是复数。A决定信号初始条件(初始幅度和(初始)相位),α决定信号“变化”情况(频率、增长或衰减)。
写成下面的式子更容易看出来:
x
=Aαn=|A|ejφ|α|nejωn
|α|<1是衰减序列;
|α|>1是增长序列。
由于n为无量纲整数,所以ω的单位只能是弧度:Hz的意义(每秒重复次数)与连续时间紧密相关,不能用于复指数序列。
相应的,复指数序列的周期和频率也不再具有简单的关系(ωN未必等于2pi);但与连续时间类比仍有类似式子:
连续时间:ωT=2PI
离散时间:ωN=2PI·m
当ω/2PI是有理数时,离散复指数信号是周期信号。
2. 线性常系数差分方程
如果一个系统由一个线性常系数差分方程描述,且是线性时不变和因果的,那么它的解是唯一的。
3. 系统稳定的充要条件是其单位脉冲响应是绝对可和的。
4. 一个系统的输入x
总可以表示为一系列加权移位的单位冲激序列之和;这样根据线性时不变系统的性质,其响应就是一系列加权移位的单位冲激响应之和。
5. 若h
= Σkakδ[n-k]
则y
= Σkakx[n-k]
6. 处理卷积式子的时候要注意,变换前要将其转换为正规式子。
例如y
=h
*x
=Σh[k]x[n-k]
y[n-n0]=Σh[k]x[n-n0-k]
=h
*x[n-n0]
即卷积符号不满足代入法则。
7. LTI系统的特征函数
若给一个LTI系统输入ejωn,那么根据LTI系统的卷积性质:
y
=ejωn*h
=Σ ejω(n-k)h[k]
=Σ ejωne-jωkh[k]
=Σh[k]e-jωkejωn
=H(ejω)ejωn
H(ejω)是ω的函数(只与ω有关),因此H(ejω)确定了对某个特定输入ejωn的增益。
LTI系统的特征函数(频率响应)就是该系统的单位脉冲响应的傅里叶变换。
8. 卷积式子y
=Σx[k]h[n-k],x与h的下标之和为n,这个从卷积的意义上很好理解,也就很好记忆。连续情况同理。
复指数序列表达式ejωn中,n为无量纲数,因此ω的单位是弧度(所以频率分别为ω和ω+2PI的信号是相同的);相对应的连续域频率的单位是rad/s。
如果非要对应上的话,可以将复指数序列的频率单位看作弧度/采样点。
用单位圆上运动点的轨迹来演示:
连续域的频率是点的角速度(弧度/秒),比如1秒跑过两周,角速度(频率)就是4PI/s;
离散域的频率是点的角位置(弧度),一秒跑一周和一秒跑两周,角位置是一样一样的。
1. 一般复指数序列
一般性的复指数序列表达式x
=Aαn,A和α都是复数。A决定信号初始条件(初始幅度和(初始)相位),α决定信号“变化”情况(频率、增长或衰减)。
写成下面的式子更容易看出来:
x
=Aαn=|A|ejφ|α|nejωn
|α|<1是衰减序列;
|α|>1是增长序列。
由于n为无量纲整数,所以ω的单位只能是弧度:Hz的意义(每秒重复次数)与连续时间紧密相关,不能用于复指数序列。
相应的,复指数序列的周期和频率也不再具有简单的关系(ωN未必等于2pi);但与连续时间类比仍有类似式子:
连续时间:ωT=2PI
离散时间:ωN=2PI·m
当ω/2PI是有理数时,离散复指数信号是周期信号。
2. 线性常系数差分方程
如果一个系统由一个线性常系数差分方程描述,且是线性时不变和因果的,那么它的解是唯一的。
3. 系统稳定的充要条件是其单位脉冲响应是绝对可和的。
4. 一个系统的输入x
总可以表示为一系列加权移位的单位冲激序列之和;这样根据线性时不变系统的性质,其响应就是一系列加权移位的单位冲激响应之和。
5. 若h
= Σkakδ[n-k]
则y
= Σkakx[n-k]
6. 处理卷积式子的时候要注意,变换前要将其转换为正规式子。
例如y
=h
*x
=Σh[k]x[n-k]
y[n-n0]=Σh[k]x[n-n0-k]
=h
*x[n-n0]
即卷积符号不满足代入法则。
7. LTI系统的特征函数
若给一个LTI系统输入ejωn,那么根据LTI系统的卷积性质:
y
=ejωn*h
=Σ ejω(n-k)h[k]
=Σ ejωne-jωkh[k]
=Σh[k]e-jωkejωn
=H(ejω)ejωn
H(ejω)是ω的函数(只与ω有关),因此H(ejω)确定了对某个特定输入ejωn的增益。
LTI系统的特征函数(频率响应)就是该系统的单位脉冲响应的傅里叶变换。
8. 卷积式子y
=Σx[k]h[n-k],x与h的下标之和为n,这个从卷积的意义上很好理解,也就很好记忆。连续情况同理。
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