复分析学习5——Cauchy积分理论1

复值函数的积分是这样定义的.设有向曲线$\gamma:z=z(t),t\in[\alpha,\beta]$,并且$a=z(\alpha)$为起点,$b=z(\beta)$为终点.现沿着$\gamma$方向任取分点

\[a=a_{0},a_{1},\cdots,a_{n}=b\]

考虑和式

$$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{k})\Delta_{k},\xi_{k}\in[a_{k-1},a_{k}]$$

当分点无限增多,而

$$\max\{\Delta_{k}\}\to0$$

时,如果$\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}$存在且等于$I$,称$f(z)$沿$\gamma$可积,记做

$$I=\int_{\gamma}f(z){\rm d}z.$$

如果设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$,则

\[\int_{\gamma}f(z){\rm d}z=\int_{\gamma}(u+iv)({\rm d}x+i{\rm d}y)\]

\[=\int_{\gamma}u{\rm d}x-v{\rm d}y+i\int_{\gamma}v{\rm d}x+u{\rm d}y\]

如同实函数一样,同样的我们用外微分形式的观点来看复值函数的积分.为此我们将给定函数$f(z)$视作$z,\overline{z}$的函数且二者独立.那么

\[{\rm d}\overline{z}\wedge{\rm d}z=({\rm d}x-i{\rm d}y)\wedge({\rm d}x+i{\rm d}y)\]

\[=2i{\rm d}\sigma\]

这里${\rm d}\sigma$为二维的面积元素.并且我们再定义算子

\[\partial f=\frac{\partial f}{\partial z}{\rm d}z,\overline{\partial}f=\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}{\rm d}\overline{z}\]

并且设$\omega$是一个复的外微分形式,定义

\[{\rm d}\omega=\partial\omega+\overline{\partial}\omega\]

显然${\rm dd}\omega\equiv0$.据此我们便可得到复形式的Green公式:设$\omega=\omega_{1}{\rm d}z+\omega_{2}{\rm d}\overline{z}$为区域$\Omega$上的一次外微分形式,则

\[\int_{\partial\Omega}\omega=\int_{\Omega}{\rm d}\omega\]

他的证明也是容易的,只需设$\omega_{1}=f_{1}+ig_{1},\omega_{2}=f_{2}+ig_{2}$,其中$f,g$都是实函数,只需计算${\rm d}\omega$即可.

而由Green公式可得到所谓的Pompeiu公式：若$\Omega\subset\mathbb C$为有界区域,且有$C^1$边界条件,设$f(z)\in C^1(\overline{\Omega})$,那么我们有

\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta-\frac{1}{\pi}\int_{\Omega}\frac{\partial f(\zeta)}{\partial\overline{\zeta}}\cdot\frac{{\rm d}\sigma}{\zeta-z}\]

我们来证明一下,取$z$的邻域$B(z,\varepsilon)\subset \Omega$,据Green公式有

\[\int_{\partial\Omega-\partial B(z,\varepsilon)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta=\int_{\Omega\setminus B(z,\varepsilon)}{\rm d}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta\right)\]

我们来计算外微分形式${\rm d}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta\right)$,由于

\[{\rm d}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta\right)=\frac{\partial}{\partial\overline{\zeta}}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\right){\rm d}\overline{\zeta}\wedge{\rm d}\zeta\]

\[=\frac{\partial f}{\partial\overline{\zeta}}\cdot\frac{{\rm d}\overline{\zeta}\wedge{\rm d}\zeta}{\zeta-z}+f(\zeta)\frac{\partial}{\partial\overline{\zeta}}\left(\frac{1}{\zeta-z}\right){\rm d}\overline{\zeta}\wedge{\rm d}\zeta\]

注意到函数$g(\zeta)=\frac{1}{\zeta-z}$在$\Omega\setminus B(z,\varepsilon)$内全纯,从而

\[\frac{\partial g}{\partial\overline{\zeta}}=0\]

因此

\[\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta=\int_{\partial B(z,\varepsilon)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta+2i\int_{\Omega\setminus B(z,\varepsilon)}\frac{\partial f}{\partial\overline{\zeta}}\cdot\frac{{\rm d}\sigma}{\zeta-z}\]

\[=\int_{\partial B(z,\varepsilon)}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta+f(z)\int_{\partial B(z,\varepsilon)}\frac{{\rm d}\zeta}{\zeta-z}+2i\int_{\Omega\setminus B(z,\varepsilon)}\frac{\partial f}{\partial\overline{\zeta}}\cdot\frac{{\rm d}\sigma}{\zeta-z}\]

(记上式为"*")先来看第一项,注意到$f(z)\in C^1(\overline{\Omega})$,设

\[f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\]

则$u,v$均在$\overline{\Omega}$上具有一阶连续偏导数,再设$\zeta=x_{1}+iy_{1},z=a+ib$,则

\[\left|\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\right|=\frac{1}{|\zeta-z|}\cdot\left|\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(\xi_{1},y_{1})}(x_{1}-a)+\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{(a,\eta_{1})}(y_{1}-b)+i\left.\frac{\partial v}{\partial x}\right|_{(\xi_{2},y_{1})}(x_{1}-a)+i\left.\frac{\partial v}{\partial y}\right|_{(a,\eta_{2})}(y_{1}-b)\right|\]

\[\leq\left|\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(\xi_{1},y)}\right|+\cdots\leq M\]

因此

\[\left|\int_{\partial B(z\varepsilon)}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta\right|\leq 2M\pi\varepsilon\]

而第二项

\[f(z)\int_{\partial B(z,\varepsilon)}\frac{{\rm d}\zeta}{\zeta-z}=f(z)\int_{0}^{2\pi}\frac{ie^{i\theta}}{e^{i\theta}}{\rm d}\theta\]

\[=2\pi if(z)\]

这样在"*"式中令$\varepsilon\to0^+$(此时$\Omega\setminus B(z,\varepsilon)\to\Omega$)即得欲证等式.

特别的,如果$f(z)$还在$\Omega$内全纯,那么我们有所谓的Cauchy积分公式

\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta.\]

这是因为如果$f(z)$全纯,那么

\[\frac{\partial f}{\partial\overline{\zeta}}=0\]

根据Pompeiu公式即可得到.

而由Cauchy积分公式即可得到Cauchy积分定理：设$\Omega\in\mathbb C$为有界区域且有$C^1$边界条件,$f(z)$在$\Omega$内全纯,且$f(z)\in C^1(\overline{\Omega})$,那么我们有

\[\int_{\partial\Omega}f(\zeta){\rm d}\zeta=0\]

证明是简单的,任取$z_{0}\in\Omega$,则函数$g(\zeta)=(\zeta-z_{0})f(\zeta)$在$\Omega$内全纯,且$g(\zeta)\in C^1(\overline{\Omega})$,据Cauchy积分公式即得结果.

反过来,我们也可以用Cauchy积分定理得出Cauchy积分公式.简单证明一下

\[\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta=\int_{\partial\Omega-\partial B(z,\varepsilon)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta+\int_{\partial B(z,\varepsilon)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta\]

据Cauchy积分定理知上式第一项为零,而第二项我们再证明Pompeiu公式时已经计算过,综合一下即可得到Cauchy积分公式.

所以说Cauchy积分公式和Cauchy积分定理是等价的.