MIT differential equation---1
2014-05-01 04:01
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暑假参加了学校一个数学教授的research,通过常微分方程研究力学系统中的bifurcation(中文叫什么呢。。不明白对应中文的地方只好用english了。。)
码渣表示好久没学数学了,赶紧补课, 希望能坚持下去。
direction field
常微分方程不一定有解。 两个非常相似的常微分方程解的情况可能完全不同。
一种intuitively理解某个常微分方程的方法是使用direction field。(引入计算机处理?)
direction field法:即使用任意点,带入方程,得出在此点的slope。(笨办法)
接着介绍聪明办法:
等式右边是斜率,只要另其等于C,就可画出一条线称为isocline,线上C恒等于一个定值。最后画出趋势,既F(x, y), 我们的integral curve。
一个x可以对应几个y,因此,需要借助计算机来验证推导出的方程。You don't know what the domain of a solution is going to be.
画direction field有两条principle.
1. Two integral curves cannot cross
原因也很好理解,在某点,只能存在一个slope
在两条integral curve逼近中,存在一个solution
2. Two integral curves cannot be tangent
by existence and uniqueness theorem
最后mit教授举了一个例子,dy/(1-y) = dx / x, 如果使用seperation of variables,画出的图形即违反了存在性(x=0),又违反了(唯一性)。
为什么会这样呢?微分方程式一定要写成标准式,dy/dx = (1-y)/x。 这样就可以发现它是不连续的。x在x=0处是undefined。
第一节课上完了,第一次那么爽的上一节数学课,要坚持下去。
码渣表示好久没学数学了,赶紧补课, 希望能坚持下去。
direction field
常微分方程不一定有解。 两个非常相似的常微分方程解的情况可能完全不同。
一种intuitively理解某个常微分方程的方法是使用direction field。(引入计算机处理?)
direction field法:即使用任意点,带入方程,得出在此点的slope。(笨办法)
接着介绍聪明办法:
等式右边是斜率,只要另其等于C,就可画出一条线称为isocline,线上C恒等于一个定值。最后画出趋势,既F(x, y), 我们的integral curve。
一个x可以对应几个y,因此,需要借助计算机来验证推导出的方程。You don't know what the domain of a solution is going to be.
画direction field有两条principle.
1. Two integral curves cannot cross
原因也很好理解,在某点,只能存在一个slope
在两条integral curve逼近中,存在一个solution
2. Two integral curves cannot be tangent
by existence and uniqueness theorem
最后mit教授举了一个例子,dy/(1-y) = dx / x, 如果使用seperation of variables,画出的图形即违反了存在性(x=0),又违反了(唯一性)。
为什么会这样呢?微分方程式一定要写成标准式,dy/dx = (1-y)/x。 这样就可以发现它是不连续的。x在x=0处是undefined。
第一节课上完了,第一次那么爽的上一节数学课,要坚持下去。
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