总结一类问题：铺地板砖，走楼梯，自然数拆分...

(1) 编程之美上的一题：能否用1×2的瓷砖去覆盖N×M的地板？

分析： （1） 如果N=1，M为偶数的话，1×2的瓷砖可以覆盖1×M的地板，在这种情况下，共需要M/2块瓷 砖

（2）如果N×M为奇数，也就是N和M都为奇数，则肯定不能用1×2的瓷砖去覆盖了

证明：假设能够用k块1×2的瓷砖去覆盖N*M(N，M都为奇数）的地板，设每块瓷砖的面积为1×2, 那么总的地板面积就为2k——必为偶数，又因为N，M都为奇数，也就是N×M的地板肯定为奇数，与1×2的瓷砖所能覆盖的面积相矛盾，所以肯定不能用1×2的瓷砖去覆盖它。

（3）N和M中至少有一个为偶数，不妨设M为偶数，那么既然我们可以用1×2的地板覆盖1×M的地 板，也可以简单地重复N次覆盖1×M的地板的做法，即可以覆盖N×M的地板。

扩展：求用1×2的瓷砖覆盖2×M的地板有几种方式？

设用1×2的瓷砖覆盖2×M的地板有F(M)种方式，其中F为M的函数，那么第一块瓷砖的放法如下图：



（1）第一块瓷砖竖着放



（2）第一块瓷砖横着放

通过图（1），（2）可以看出，第一块瓷砖的放法要么是竖着放，要么是横着放。

当第一块瓷砖竖着放的时候，问题转换成求1×2的瓷砖覆盖剩下的2×(M-1)的方式，即F(M-1)

当第一块瓷砖横着放的时候（必有另一块瓷砖放在其正下方，如图（2）所示），问题转换成求用1×2的瓷砖覆盖剩下的2×（M-2)的方式，即F(M-2)。

在求F(M-1)和F(M-2)时，由于第一列地板的覆盖方式已经不同，F(M-1)种覆盖方式和F(M-2)种覆盖方式没有重叠，故F(M) = F(M-1)+F(M-2),其中，F(1) =1,F(2) =2.

算法： 与走楼梯的算法一样。

楼梯的走法（华为机试模拟题中的一题）一个楼梯有N阶，从下往上走，一步可以走一阶，也可以走两阶，有多少种走法。

递归算法：



（3）自然数拆分法，没搞明白～～待续.....