求数组的子数组之和的最大值

求数组的子数组之和的最大值

提出问题：
一个有N个整数元素的一维数组(A[0],A[1],A[2]……A[n-1]),那么子数组之和的最大值是什么？
例如：-2 5 3 -6 4 -8 6 maxsum=8
解法一：
我们先明确题意，
1：题目说的子数组是连续的
2：题目只需要求和，并不需要返回子数组的具体位置
3：数组的元素是整数，所以数组可能包括正整数，零，负整数。
举几个例子：
eg1: 1 -2 3 5 -3 2 maxsum=8
eg2: 0 -2 3 5 -1 2 maxsum=9
eg3: -8 -9 -2 -5 -3 maxsum=-2

最直接的方法就是找出所有的子数组，然后求其和，取最大。如果每个子数组都遍历求和，该方法的复杂度为O(N^3)，仔细考虑，在遍历过程中，这些子数组的和是有重复计算的：下标i与j之间的区间和Sum[i,j]=Sum[i,j-1]+arr[j]。于是子数组和的求法不必每次都遍历，算法复杂度可以降为O(N^2)。代码如下：

int Maxsum1(int *array,int n)
{
int max=-INF;
int sum;
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
{
sum=0;
for(j=i;j<n;j++)
{
sum+=array[j];
if(sum>max)
max=sum;
}
}
return max;
}

解法二：DP

我们考虑最后一个元素arr[n-1]与最大子数组的关系，有如下三种情况：
arr[n-1]单独构成最大子数组
最大子数组以arr[n-1]结尾
最大子数组跟arr[n-1]没关系，最大子数组在arr[0-n-2]范围内，转为考虑元素arr[n-2]

从上面我们可以看出，问题分解成了三个子问题，最大子数组就是这三个子问题的最大值，现假设：
以arr[n-1]为结尾的最大子数组和为End[n-1]
在[0-n-1]范围内的最大子数组和为All[n-1]

如果最大子数组跟最后一个元素无关，即最大和为All[n-2]（存在范围为[0-n-2]），则解All[n-1]为三种情况的最大值，即All[n-1] = max{ arr[n-1]，End[n-1]，All[n-2] }。从后向前考虑，初始化的情况分别为arr[0]，以arr[0]结尾，即End[0]
= arr[0]，最大和范围在[0,0]之内，即All[0]=arr[0]。

 
int Maxsum2(int * array, int n)
{
    int End[MAX] = {-INF};
    int All[MAX] = {-INF};
    End[0] = All[0] = array[0];
 
    for(int i = 1; i < n; ++i)
    {
        End[i] = max(End[i-1]+arr[i],arr[i]);
        All[i] = max(End[i],All[i-1]);
    }
    return All[n-1];
}

仔细看上面DP方案的代码，End[i] = max{arr[i]，End[i-1]+arr[i]}，如果End[i-1]<0，那么End[i]=arr[i]，什么意思？End[i]表示以i元素为结尾的子数组和，如果某一位置使得它小于0了，那么就自当前的arr[i]从新开始，且End[i]最初是从arr[0]开始累加的，所以这可以启示我们：我们只需从头遍历数组元素，并累加求和，如果和小于0了就自当前元素从新开始，否则就一直累加，取其中的最大值便求得解。

int Maxsum3(int *array,int n)
{
int max=-INF;
int sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(sum<0)
sum=array[i];
else
sum+=array[i];
if(sum>max)
max=sum;
}
return max;
}

其实上面的方法虽说是从DP推导出来的，但是写完发现也是很直观的方法，求最大和，那就一直累加呗，只要大于0，就说明当前的“和”可以继续增大，如果小于0了，说明“之前的最大和”已经不可能继续增大了，就从新开始，如此这样。