算法——寻找两个有序数组的中值

1. 算法描述

有两个数组 A 和 B，均为有序排列，A的长度为m，B的长度为n，求 A 和 B 合在一起后的中值.

2. 问题分析

这里要注意一下：要充分利用 A和B均为有序的特性
该问题进一步可转化为求A和B的任意K值，如三分位、四分位.

思路一：将A和B合并成新的数组

/**
* 合并有序数组，然后寻找K值
*
* @param a
*            有序数组a
* @param b
*            有序数组b
* @param k
*            k值位置，0<=k<=a.length+b.length-1
* @return k值
*/
public static int findKthByMerge(int[] a, int[] b, int k) {
System.out.println("Find kth by merge array first");
int[] ab = new int[a.length + b.length];
int ai = 0, bi = 0, abi = 0;
while (ai < a.length && bi < b.length) {
ab[abi++] = (a[ai] < b[bi]) ? a[ai++] : b[bi++];
}
while (ai < a.length) {
ab[abi++] = a[ai++];
}
while (bi < b.length) {
ab[abi++] = b[bi++];
}
System.out.println(Arrays.toString(ab));

return ab[k];
}

这种方法最容易想到，合并成有序数组后即可求任意k值，其时间复杂度为 O（m+n）， 空间复杂图为O（m+n)

这里反思一下：真的需要合并数组吗？

思路二：采用扫描计数方法

/**
* 无需合并数组，利用计数机寻找K值
*
* @param a
*            有序数组a
* @param b
*            有序数组b
* @param k
*            k值位置，0<=k<=a.length+b.length-1，k同时充当计数器
* @return k值
*/
public static int findKthByCounter(int[] a, int[] b, int k) {
System.out.println("Find kth by counter");
int ai = 0, bi = 0;
int kth = 0; // 保存K值
while (ai < a.length && bi < b.length && k >= 0) {
kth = (a[ai] < b[bi]) ? a[ai++] : b[bi++];
k--;
}
while (ai < a.length && k >= 0) {
kth = a[ai++];
k--;
}
while (bi < b.length && k >= 0) {
kth = b[bi++];
k--;
}
return kth;
}

本算法是对算法一的改进，用一个临时变量保存K值，而不需要讲新合并的数组单独存储，节省了存储空间。

其 时间复杂度为O（m+n), 空间复杂度为O(1).

到此都是线性时间复杂度，已经是非常高效了，但又没有更加高效的方法进一步降低时间复杂度呢？

这里注意到原数组有序特性，利用二分特性可以将复杂度降至对数级别。

思路三：递归二分

/**
* 递归二分查找K值
*
* @param a
*            有序数组a
* @param b
*            有序数组b
* @param k
*            K值位置，0<=k<=m+n-1
* @param aStart
*            数组a初始查找位置
* @param aEnd
*            数组a结束查找位置
* @param bStart
*            数组b初始查找位置
* @param bEnd
*            数组b结束查找位置
* @return k值
*/
public static int findKth(int a[], int b[], int k, int aStart, int aEnd,
int bStart, int bEnd) {

int aLen = aEnd - aStart + 1;
int bLen = bEnd - bStart + 1;

// 递归结束条件
if (aLen == 0) {
return b[bStart + k];
}
if (bLen == 0) {
return a[aStart + k];
}
if (k == 0) {
return a[aStart] < b[bStart] ? a[aStart] : b[bStart];
}

// 将k按比例分配到a和b中，（k+1）=ka+kb,
int ka = (k + 1) * aLen / (aLen + bLen);
int kb = (k + 1) - ka;
ka += aStart;
kb += bStart;

// 因为a和b有序，aStart-ka , bStart-kb yi
// 最大值进行比较
if (a[ka] > b[kb]) {
k = k - (kb - bStart); // bStart - kb 这段应当排除，调整k值
aEnd = ka; // 新k值可能存在于 aStart - ka
bStart = kb; // 新k值可能存在于 kb - bEnd 之间
} else {
k = k - (ka - aStart);
bEnd = kb;
aStart = ka;
}
return findKth(a, b, k, aStart, aEnd, bStart, bEnd);
}

本方法计算中值每次将范围缩小一半，故而 其 时间复杂度为 lg（m+n）.

3. 测试算法

public static void main(String[] args) {
int A[] = { 0, 10, 30, 40, 50, 80, 89, 99, 101 };
// int A[]={};
int B[] = { -1, 33, 36, 56, 80, 83, 97, 98, 200 };
// int B[] = {};
int k = 0;
int kth = 0;

k = (A.length + B.length - 1) / 2;
System.out.println("A.length=" + A.length + "\t" + Arrays.toString(A));
System.out.println("B.length=" + B.length + "\t" + Arrays.toString(B));
System.out.println("k-index = " + k);

kth = findKthByMerge(A, B, k);
System.out.println(kth);

kth = findKthByCounter(A, B, k);
System.out.println(kth);

System.out.println("递归查找");
kth = findKth(A, B, k, 0, A.length - 1, 0, B.length - 1);
System.out.println(kth);
}

输出结果如下：

A.length=9	[0, 10, 30, 40, 50, 80, 89, 99, 101]
B.length=9	[-1, 33, 36, 56, 80, 83, 97, 98, 200]
k-index = 8
Find kth by merge array first
[-1, 0, 10, 30, 33, 36, 40, 50, 56, 80, 80, 83, 89, 97, 98, 99, 101, 200]
56
Find kth by counter
56
递归查找
56