二叉查找树(二叉排序树)的详细实现

二叉搜索树定义

二叉搜索树，又称为二叉排序树。Binary Search Tree，Binary Sort Tree，简写为BST。二叉排序树或为空树；或者是这样一棵二叉树，若左子树不空，则左子树上所有结点均小于根结点，若右子树不空，则右子树上所有结点均大于根结点，其左、右子树也是二叉排序树。

时间复杂度

二叉搜索树插入、删除、和搜索的时间是O(log2(n))。

中序遍历BST可以得到一个关键字的有序序列，所以按排序顺序打印出所有节点时间复杂度为O(n)。如果中序遍历二叉排序树，将得到有序的关键字序列，这也是手工判别二叉排序树的方法之一。给定一个数，可以在O(log(n)) 时间内找出大小仅次于它的节点（方法为记住当前遍历过的最小差值和对应节点号，直至NULL）。

特性

在构建BST的过程中，新插入的结点一定是一个新添加的叶子节点，并且是查找不成功时查找路径上访问的最后一个节点的做孩子或者右孩子。构建二叉树的过程，就是对一个无序序列进行排序的过程。

主要用来查找关键值为key 和删除 key 的数，复杂度为 log2(n)
但是 在比较坏的情况

会退化成一条链

时间复杂度会变成 O(N)

为了防止他退化成一条链

就出现了 平衡树 -> 红黑树 就是由他演变来的

/*************************************************************************
这是一个二叉查找树，实现了以下操作：插入结点、构造二叉树、删除结点、查找、
查找最大值、查找最小值、查找指定结点的前驱和后继。上述所有操作时间复杂度
均为o(h),其中h是树的高度
注释很详细，具体内容就看代码吧
*************************************************************************/

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

//二叉查找树结点描述
typedef int KeyType;
typedef struct Node
{
KeyType key;          //关键字
struct Node * left;   //左孩子指针
struct Node * right;  //右孩子指针
struct Node * parent; //指向父节点指针
}Node,*PNode;

//往二叉查找树中插入结点
//插入的话，可能要改变根结点的地址，所以传的是二级指针
void inseart(PNode * root,KeyType key)
{
//初始化插入结点
PNode p=(PNode)malloc(sizeof(Node));
p->key=key;
p->left=p->right=p->parent=NULL;
//空树时，直接作为根结点
if((*root)==NULL){
*root=p;
return;
}
//插入到当前结点（*root）的左孩子
if((*root)->left == NULL && (*root)->key > key){
p->parent=(*root);
(*root)->left=p;
return;
}
//插入到当前结点（*root）的右孩子
if((*root)->right == NULL && (*root)->key < key){
p->parent=(*root);
(*root)->right=p;
return;
}
if((*root)->key > key)
inseart(&(*root)->left,key);
else if((*root)->key < key)
inseart(&(*root)->right,key);
else
return;
}

//查找元素,找到返回关键字的结点指针，没找到返回NULL
PNode search(PNode root,KeyType key)
{
if(root == NULL)
return NULL;
if(key > root->key) //查找右子树
return search(root->right,key);
else if(key < root->key) //查找左子树
return search(root->left,key);
else
return root;
}

//查找最小关键字,空树时返回NULL
PNode searchMin(PNode root)
{
if(root == NULL)
return NULL;
if(root->left == NULL)
return root;
else  //一直往左孩子找，直到没有左孩子的结点
return searchMin(root->left);
}

//查找最大关键字,空树时返回NULL
PNode searchMax(PNode root)
{
if(root == NULL)
return NULL;
if(root->right == NULL)
return root;
else  //一直往右孩子找，直到没有右孩子的结点
return searchMax(root->right);
}

//查找某个结点的前驱
PNode searchPredecessor(PNode p)
{
//空树
if(p==NULL)
return p;
//有左子树、左子树中最大的那个
if(p->left)
return searchMax(p->left);
//无左子树,查找某个结点的右子树遍历完了
else{
if(p->parent == NULL)
return NULL;
//向上寻找前驱
while(p){
if(p->parent->right == p)
break;
p=p->parent;
}
return p->parent;
}
}

//查找某个结点的后继
PNode searchSuccessor(PNode p)
{
//空树
if(p==NULL)
return p;
//有右子树、右子树中最小的那个
if(p->right)
return searchMin(p->right);
//无右子树,查找某个结点的左子树遍历完了
else{
if(p->parent == NULL)
return NULL;
//向上寻找后继
while(p){
if(p->parent->left == p)
break;
p=p->parent;
}
return p->parent;
}
}

//根据关键字删除某个结点,删除成功返回1,否则返回0
//如果把根结点删掉，那么要改变根结点的地址，所以传二级指针
int deleteNode(PNode* root,KeyType key)
{
PNode q;
//查找到要删除的结点
PNode p=search(*root,key);
KeyType temp;    //暂存后继结点的值
//没查到此关键字
if(!p)
return 0;
//1.被删结点是叶子结点，直接删除
if(p->left == NULL && p->right == NULL){
//只有一个元素，删完之后变成一颗空树
if(p->parent == NULL){
free(p);
(*root)=NULL;
}else{
//删除的结点是父节点的左孩子
if(p->parent->left == p)
p->parent->left=NULL;
else  //删除的结点是父节点的右孩子
p->parent->right=NULL;
free(p);
}
}

//2.被删结点只有左子树
else if(p->left && !(p->right)){
p->left->parent=p->parent;
//如果删除是父结点，要改变父节点指针
if(p->parent == NULL)
*root=p->left;
//删除的结点是父节点的左孩子
else if(p->parent->left == p)
p->parent->left=p->left;
else //删除的结点是父节点的右孩子
p->parent->right=p->left;
free(p);
}
//3.被删结点只有右孩子
else if(p->right && !(p->left)){
p->right->parent=p->parent;
//如果删除是父结点，要改变父节点指针
if(p->parent == NULL)
*root=p->right;
//删除的结点是父节点的左孩子
else if(p->parent->left == p)
p->parent->left=p->right;
else //删除的结点是父节点的右孩子
p->parent->right=p->right;
free(p);
}
//4.被删除的结点既有左孩子，又有右孩子
//该结点的后继结点肯定无左子树(参考上面查找后继结点函数)
//删掉后继结点,后继结点的值代替该结点
else{
//找到要删除结点的后继
q=searchSuccessor(p);
temp=q->key;
//删除后继结点
deleteNode(root,q->key);
p->key=temp;
}
return 1;
}

//创建一棵二叉查找树
void create(PNode* root,KeyType *keyArray,int length)
{
int i;
//逐个结点插入二叉树中
for(i=0;i<length;i++)
inseart(root,keyArray[i]);
}

int main(void)
{
int i;
PNode root=NULL;
KeyType nodeArray[11]={15,6,18,3,7,17,20,2,4,13,9};
create(&root,nodeArray,11);
for(i=0;i<2;i++)
deleteNode(&root,nodeArray[i]);
printf("%d\n",searchPredecessor(root)->key);
printf("%d\n",searchSuccessor(root)->key);
printf("%d\n",searchMin(root)->key);
printf("%d\n",searchMax(root)->key);
printf("%d\n",search(root,13)->key);
return 0;
}