Python计算&绘图——曲线拟合问题

        题目来自老师的课后作业，如下所示。很多地方应该可以直接调用函数，但是初学Python，对里面的函数还不是很了解，顺便带着学习的态度，尽量自己动手code。

         


测试版代码，里面带有很多注释和测试代码：

# -*- coding: cp936 -*-
import math
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

'''
在x=[0,1]上均匀采样10个点组成一个数据集D=[a,b]
'''
a = []
b = []
x=0
def func(x):
    mu=0
    sigma=0.1
    epsilon = random.gauss(mu,sigma) #高斯分布随机数
    return np.sin(2*np.pi*x)+epsilon
for i in range(0,10):
    x=x+1.0/11.0
    a.append(x)
    b.append(func(x))

#定义输出矩阵函数
def print_matrix( info, m ): 
    i = 0; j = 0; l = len(m)
    print info
    for i in range( 0, len( m ) ):
        for j in range( 0, len( m[i] ) ):
            if( j == l ):
                print ' |',
            print '%6.4f' % m[i][j],
        print
    print

#定义交换变量函数
def swap( a, b ):
    t = a; a = b; b = t
    
#定义线性方程函数，高斯消元法    
def solve( ma, b, n ):
    global m; m = ma # 这里主要是方便最后矩阵的显示
    global s;    
    i = 0; j = 0; row_pos = 0; col_pos = 0; ik = 0; jk = 0
    mik = 0.0; temp = 0.0  
    n = len( m )
# row_pos 变量标记行循环, col_pos 变量标记列循环
    while( ( row_pos < n ) and( col_pos < n ) ):
        # 选主元
        mik = - 1
        for i in range( row_pos, n ):
            if( abs( m[i][col_pos] ) > mik ):
                mik = abs( m[i][col_pos] )
                ik = i
        if( mik == 0.0 ):
            col_pos = col_pos + 1
            continue
        # 交换两行
        if( ik != row_pos ):
            for j in range( col_pos, n ):
                swap( m[row_pos][j], m[ik][j] )
                swap( m[row_pos]
, m[ik]
);  
        try:
            # 消元
            m[row_pos]
/= m[row_pos][col_pos]
        except ZeroDivisionError:
            # 除零异常 一般在无解或无穷多解的情况下出现……
            return 0;     
        j = n - 1
        while( j >= col_pos ):
            m[row_pos][j] /= m[row_pos][col_pos]
            j = j - 1
        for i in range( 0, n ):
            if( i == row_pos ):
                continue
            m[i]
-= m[row_pos]
* m[i][col_pos]
            j = n - 1
            while( j >= col_pos ):
                m[i][j] -= m[row_pos][j] * m[i][col_pos]
                j = j - 1
        row_pos = row_pos + 1; col_pos = col_pos + 1
    for i in range( row_pos, n ):
        if( abs( m[i]
) == 0.0 ):
            return 0
    return 1

matrix_A=[]         #将系数矩阵A的所有元素存到a[n-1][n-1]中
matrix_b=[]
X=a
Y=b
N=len(X)
M=3    #对于题目中要求的不同M[0,1,3,9]值，需要在这里更改，然后重新编译运行

#计算线性方程组矩阵A的第[i][j]个元素A[i][j]    
def matrix_element_A(x,i,j,n): 
    sum_a=0
    for k in range(0,n):   
        sum_a = sum_a+pow(x[k],i+j-2)   #x[0]到x[n-1]，共n个元素求和
    return sum_a

for i in range(0,M+1):  
    matrix_A.append([])  
    for j in range(0,M+1):  
        matrix_A[i].append(0)
        matrix_A[i][j] = matrix_element_A(X,i+1,j+1,N)
#计算线性方程组矩阵b的第[i]行元素b[i]
def matrix_element_b(x,y,i,n): 
    sum_b=0
    for k in range(0,n):
        sum_b=sum_b+y[k]*pow(x[k],i-1)  #x[0]到x[n-1]，共n个元素求和
    return sum_b
for i in range(0,M+1):
    matrix_b.append(matrix_element_b(X,Y,i+1,N))

#函数matrix_element_A_()用来求扩展矩阵A_，array_A表示系数矩阵A，array_b表示方程组右侧常数，A_row表示A的行秩
def matrix_element_A_(array_A,array_b,A_row):
    M=A_row  #局部变量M，与全局变量M无关
    matrix_A_= []
    for i in range(0,M+1):
        matrix_A_.append([])
        for j in range(0,M+2):
            matrix_A_[i].append(0)
            if j<M+1:
                matrix_A_[i][j] = array_A[i][j]
            elif j==M+1:     #如果不加这个控制条件，matrix_A_将被array_b刷新
                matrix_A_[i][j] = array_b[i]
    return matrix_A_
matrix_A_ = matrix_element_A_(matrix_A,matrix_b,M)

'''
多项式拟合函数
'''
#x为自变量，w为多项式系数，m为多项式的阶数
def poly_fit(x,wp,m):
    sumf = 0
    for j in range(0,m+1):
        sumf=sumf+wp[j]*pow(x,j)
    return sumf

'''
sin(2*pi*x)在x=0处的3阶泰勒展开式
'''
coef_taylor = [] #正弦函数的泰勒展开式系数
K=3  #展开到K阶
if K%2==0:
    print "K必须为正奇数"
s = 0
k=(K-1)/2+1  #小k为系数个数
#求K阶泰勒展开式的系数：
for i in range(0,k):
    s = pow(-1,i)*pow(2*np.pi,2*i+1)/math.factorial(2*i+1)
    coef_taylor.append(s)
print "%d阶泰勒级数展开式的系数为：" %K
print coef_taylor
#tx为泰勒展开式函数的自变量    
def sin_taylor(tx):
    sum_tay=0
    for i in range(0,k):
        sum_tay=sum_tay+coef_taylor[i]*pow(tx,2*k+1)
    return sum_tay
poly_taylor_a = []   #泰勒展开式函数的输入值
poly_taylor_b = []   #泰勒展开式函数的预测值
for i in range(0,N):
    poly_taylor_a.append(a[i])
    poly_taylor_b.append(sin_taylor(poly_taylor_a[i]))

'''
在x=[0,1]上生成100个点，作为测试集
'''
testa = []  #测试集的横坐标
testb = []  #测试集的纵坐标
x=0
for i in range(0,100):
    x=x+1.0/101.0
    testa.append(x)
    testb.append(np.sin(2*np.pi*x))
    
'''
计算泰勒展开式模型的训练误差和测试误差
'''
#定义误差函数：
#ly为真实值，fx为预测值
def Lfun(ly,fx):
    L=0
    for i in range(0,len(fx)):
        L=L+pow(ly[i]-fx[i],2)
    return L

'''
主程序
'''
if __name__ == '__main__':
# 求解方程组, 并输出方程组的可解信息
    ret = solve( matrix_A_, 0, 0 ) 
    if( ret== 0 ):
        print "方 程组无唯一解或无解\n"
   
    # 输出方程组及其解，解即为w[j]
    w = []
    for i in range( 0, len( m ) ):
        w.append(m[i][len( m )])
    print "M=%d时的系数w[j]：" %M
    print w
    
    #多项式拟合后的预测值：
    poly_a = []
    poly_b = []
    for i in range(0,N):
        poly_a.append(a[i])
        poly_b.append(poly_fit(poly_a[i],w,M))

    #fxtay为泰勒展开式的预测值,LCtaylor为测试误差：
    fxtay = []
    for i in range(0,100):
         fxtay.append(sin_taylor(testa[i]))
    LCtaylor = Lfun(testb,fxtay)/100
    print "三阶泰勒展开式的测试误差为：%f" %LCtaylor

    #fxpoly为M阶多项式拟合函数的预测值，LXpoly为训练误差：
    fxpoly = []
    for i in range(0,N):   #len(poly_b)=N=10
        fxpoly.append(poly_fit(a[i],w,M))
    LXpoly = Lfun(b,fxpoly)/len(poly_b)
    print "M=%d时多项式拟合函数的训练误差为：%f" % (M,LXpoly)

    #fxpolyc为M阶多项式拟合函数的预测值，LCpoly为测试误差：
    fxpolyc = []
    for i in range(0,100):
        fxpolyc.append(poly_fit(testa[i],w,M))
    LCpoly = Lfun(testb,fxpolyc)/100 
    print "M=%d时多项式拟合函数的测试误差为：%f" % (M,LCpoly)
    
    #多项式拟合的效果：
    fig1 = plt.figure(1)
    plt.plot(poly_a,poly_b,color='blue',linestyle='solid',marker='o') 
    #加入epsilon后的样本：
    plt.plot(a,b,color='red',linestyle='dashed',marker='x') 
    #泰勒展开式拟合效果：
    plt.plot(poly_taylor_a,poly_taylor_b,color='yellow',linestyle='dashed',marker='o')
    #figure(2)对比多项式拟合函数与训练数据：
    fig2 = plt.figure(2)
    plt.plot(poly_a,poly_b,color='blue',linestyle='solid',marker='o')
    plt.plot(a,b,color='red',linestyle='dashed',marker='x')
    plt.show()

M=3时的运行结果：

3阶泰勒级数展开式的系数为：
[6.283185307179586, -41.341702240399755]
M=3时的系数w[j]：
[-0.28492708632293295, 13.031310645420685, -37.730992850050448, 25.464782221275197]
三阶泰勒展开式的测试误差为：100.889335
M=3时多项式拟合函数的训练误差为：0.008933
M=3时多项式拟合函数的测试误差为：0.007886

Figure(1):



Figure(2):



         初次编写这么长的代码，思路不是有一点的混乱

。其中有

也有

。以后会继续来优化这个程序，作为学习Python的入口。