算法 RMQ（Range Minimum Query）问题:Sparse-Table算法

Sparse-Table算法是一个在线算法
所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse
Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5
和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

然后是查询。取k=[log2(j-i+1)]，则有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明，要求区间[2，8]的最大值，总共2到8是7个元素，所以k=2，那么就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

具体如下图所示：



算法伪代码

//初始化

INIT_RMQ

//max[i][j]中存的是重i开始的2^j个数据中的最大值，最小值类似，num中存有数组的值

for

i: 1 ton

max[i][0] = num[i]

for

j

: 1 to

log

(n)/

log

(2)

for

i

: 1 to(n+1-2^i)

max[i][j] = MAX（max[i][j-1], max[i+2^(i-1)][j-1]）

//查询

RMQ(i, j)

k =

log

(j-i+1) /

log

(2)

return

MAX(max[i][k], max[

j-2^k+1][k])
[/code]