2013蓝桥杯 【初赛试题】 第39级台阶

题目描述：

    小明刚刚看完电影《第39级台阶》，离开电影院的时候，他数了数礼堂前的台阶数，恰好是39级!

    站在台阶前，他突然又想着一个问题：

    如果我每一步只能迈上1个或2个台阶。先迈左脚，然后左右交替，最后一步是迈右脚，也就是说一共要走偶数步。那么，上完39级台阶，有多少种不同的上法呢？

输出格式：

输出一个整数

程序分析：

这个程序不需要纠结在左脚和右脚的问题上，从中抽象出限制条件：一共走的步数是偶数；

我们可以通过递归来实现，对每次递归的结果进行判断，如果走过的台阶数为39则，结束递归，判断走的步数是否为偶数，为偶数则为上法计数器加一，否则为无效上法；

#include<iostream>
using namespace std;
int count=0;
void fun(int stair,int step)
{	//stari用于表示剩余的楼梯的层数，当等于0时停止递归
//step是走过的步数，用来判断是否是偶数，是否符合要求
if(stair<0)return;
if(stair==0)	//39节楼梯全部走完
{
if(step%2 == 0)count++;
return;
}
fun(stair-1,step+1);	//这一步走了一个台阶
fun(stair-2,step+1);	//这一步走了两个台阶
}
int main()
{
fun(39,0);
cout<<count<<endl;
return 0;
}

输出结果为：51167078

要说明stair可能出现小于0的情况，当最后只剩了一个台阶，但是小明想要跨两步的时候，这样是不可能的，也就是说他只能跨一步，两步是不可能出现的，因此也不可能是符合条件的走法。

这种递归的效果如下图：



这个二叉树（本算法并不涉及二叉树知识，只是通过概念来理解）的每个叶子节点都是一种情况：

我们将每一个节点称为(x,y)

叶子节点分为两种情况：x为-1和x为0，x为-1的情况在现实中不可能发生，所以不予以考虑；

我们对每一种x为0的情况都进行判断，如果y的值为偶数，则计数器加1。

评价：该问题也是典型的递归型题目，它对每层递归都进行判断，如果stair<0，则说明不符合题意，则退出；递归终止的条件是stair=0，然后判断走的步数是否为偶数，如果为偶数，则计数器加1，否则退出递归。