顺序统计量和中位数——线性时间的选择算法

一、求最大最小值

即遍历一次，然后依次跟当前最大或最小的比较一下，遍历结束，则选择结束。

（源代码来自网上）

//得到最小值
int GetMin(int nData[], int nLen)
{
int nMin = nData[0];        //初始化nMin为第一个数据
for (int i = 1; i < nLen; ++i)    //遍历数据一一同nMin比较
{
if (nMin > nData[i])
{
nMin = nData[i];
}
}
return nMin;                //返回最小值
}

//得到最大值
int GetMax(int nData[], int nLen)
{
int nMax = nData[0];        //初始化nMax为第二个数据
for (int i = 1; i < nLen; ++i)    //遍历数据一一同nMax比较
{
if (nMax < nData[i])
{
nMax = nData[i];
}
}
return nMax;                //返回nMax
}

二、求第i个顺序统计量

就是求集合中第i小的元素

第一种办法是先排序，然后直接索引。但是基于比较的排序的执行时间底线是nlogn。而非基于比较的排序又需要各种条件。

第二种分区算法，每执行一次能够找出基准值的最终位置，即左边的值都不大于基准值，右边的值都不小于基准值，这从而让人想起了折半查找，分治思想。

//在区间[low, high)搜索第k小的元素
2: int RandomizedSearchK(int A[], int low, int high, int k)
3: {
4:     if(low == high-1)
5:         return A[low];
6:
7:     int r = Partition(A, low, high);  //返回基准值索引
8:     int n = r - low + 1;  // A[low.....r]的元素个数
9:     if (n == k)   //基准值正好是第k小
10:         return A[r];
11:     else if (n < k)
12:         RandomizedSearchK(A, r+1, high, k - n);  //查找基准值右边第k-n小
13:     else
14:         RandomizedSearchK(A, low, r, k);   // 查找基准值左边第k小
15: }

三、最坏情况为线性时间的选择算法

上面期望时间线性是因为可能存在某种最坏的情况，每次分割元的位置都是导致一边没有元素，这样就不能够达到线性了，而为n 2，接下来的一些预先工作就是避免这种情况发生。

算法SELECT通过执行下列步骤来确定一个有n个元素的输入数组中的第i个小的元素。

1、将输入数组的n个元素划分为n/5组，每组5个元素，且至多有一个组由剩下的n mod 5个元素组成。

2、寻找n/5个组中每一组的中位数。（方法首先对每组中的元素进行插入排序，然后从排序过的序列中选出中位数）

3、对第2步中找出的n/5个中位数，递归调用SELECT找出其中位数x。（如果有偶数个中位数，根据约定，x是下中位数。）

4、利用修改过的PARTITION过程，按中位数的中位数x对输入数组进行划分。让k比划分低区的元素多1，所以x是第k小的元素，并且有n-k个元素在划分的高区。

5、如果i=k，则返回x，否则，如果i<k，则在低区递归调用SELECT以找出第i小的元素，如果i>k，则在高区找第（i-k）个最小元素。



图中箭头指向表示大的数值指向小的数值，所以根据图可以看出，在x的右边，每一个包含5个元素的组中至少有3个元素大于x，x的左边，每一组中至少有3个元素小于x。（保证x分割一边必定有元素存在）

图中显示的中位数的中位数x的位置，每次选取x作为划分的好处是能够保证必定有一部分在x的一边。

所以算法最坏情况的递归公式可以写成：



使用替换法可以得出T（n）<=cn。