LeetCode(94)Unique Binary Search Trees

题目如下:

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,

Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

分析如下:

一开始觉得这题好难好难啊。后来看到提示用递归。后来想了想，果然用递归非常容易就写好了。有n个树。那么只考察BST的root的取值的可能性，有n个。假设BST的root为i，则以i为root的BST的总数量为取决于它的左子树和右子树，具体说来，是左子树的数量和右子树的数量的乘积。那么左子树的数量有多少个呢？右子树的数量有多少个呢？这个问题和刚才的问题完全一样，所以这样就构成了递归。

base case是，当n=0或者n=1时，显然BST数量只能有1个。

我的代码:

//68ms过大集合
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if(n==1||n==0)
            return 1;
        else {
            int sum=0;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                sum += numTrees(i-1)*numTrees(n-i);
            }
            return sum;
        }
    }
};

小结如下:

(1) 本题的核心是卡特兰数的问题，卡特兰数问题还有很多，比如LeetCode中有一个括号问题，其本质也是卡特兰数问题，现在理解还不太透彻，稍后对卡特兰数问题作总结。

(2) 再次发现递归的用处了，以后脑袋不好考虑的问题都可以要想想是否可以用递归来试试，正好也发挥一下机器和人相比的优势。

update: 2014-10-06

把递归改为迭代，用空间换时间，可以减少一部分运行时间。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        int* sum = new int[n+1];
        memset(sum, 0, sizeof(int) *(n+1));  //给这片空间赋初始值
        sum[0] = 1;
        for(int i = 1; i<= n; ++i) {
             for(int j = 0; j <= i -1; ++j) {
                 sum[i] += sum[j] * sum[i -j -1];
             }
        }
        return sum
;
    }
};

update: 2015-03-23

1. 现在递归提交已经是TLE了。

2. 初始化数组的一个更加简洁的表达方式是:

int* array = new int[n + 1](); //()运算符起到初始化作用，代替了memeset(array, 0, sizeof(int) *(n + 1));

代码如下：

//2ms
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
int* array = new int[n + 1](); //()运算符起到初始化作用，代替了memeset(array, 0, sizeof(int) *(n + 1));
        array[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                array[i]+=array[j] * array[i - j - 1];
            }
        }
        int result = array
;
        delete [] array;
        return result;
    }
};