最短路径之Dijkstra算法

１ 最短路径算法

在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：

（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。

本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２ Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法

Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

2.2 Dijkstra算法思想

Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2.3 Dijkstra算法具体步骤

（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 ）（若u不是v的出边邻接点）。

（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 2.4 Dijkstra算法举例说明

如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）

图一：Dijkstra无向图




算法执行步骤如下表：

步骤	S集合中	U集合中
1	选入A，此时S=<A> 此时最短路径A→A=0 以A为中间点，从A开始找	U=<B、C、D、E、F> A→B=6，A→C=3， A→其它U中的顶点=∞， 发现A→C=3权值为最短
2	选入C，此时S=<A、C> 此时最短路径A→A=0，A→C=3以C为中间点， 从A→C=3这条最短路径开始找	U=<B、D、E、F> A→C→B=5(比上面第一步的A→B=6要短) 此时到D权值更改为A→C→B=5， A→C→D=6， A→C→E=7， A→C→其它U中的顶点=∞，发现A→C→B=5权值为最短
3	选入B，此时S=<A、C、B> 此时最短路径A→A=0，A→C=3，A→C→B=5 以B为中间点 从A→C→B=5这条最短路径开始找	U=<D、E、F> A→C→B→D=10(比上面第二步的A→C→D=6要长) 此时到D权值更改为A→C→D=6， A→C→B→其它U中的顶点=∞，发现A→C→D=6权值为最短
4	选入D，此时S=<A、C、B、D> 此时最短路径A→A=0，A→C=3，A→C→B=5，A→C→D=6 以D为中间点， 从A→C→D=6这条最短路径开始找	U=<E、F> A→C→D→E=8(比上面第二步的A→C→E=7要长)此时到E权值更改为A→C→E=7，A→C→D→F=9 发现A→C→E=7权值为最短
5	选入E，此时S=<A、C、B、D、E> 此时最短路径A→A=0，A→C=3，A→C→B=5，A→C→D=6，A→C→E=7，以E为中间点， 从A→C→E=7这条最短路径开始找	U=<F> A→C→E→F=12(比上面第四步的A→C→D→F=9要长)此时到F权值更改为A→C→D→F=9 发现A→C→D→F=9权值为最短
6	选入F，此时S=<A、C、B、D、E、F> 此时最短路径A→A=0，A→C=3， A→C→B=5， A→C→D=6， A→C→E=7，A→C→D→F=9	U集合已空，查找完毕。