mobius反演讲解

　　mobius反演的基本形式为，假设知道函数F(x)=Σf(d) d|x，那么我们可以推出f(x)=Σmiu(d)*F(x/d) d|x，另一基本形式为假设知道函数F(x)=Σf(d) x|d，那么我们可以推出f(x)=Σmiu(d)*F(d/x) x|d，第二种形式可以由容斥定理得出，在此不再赘述。

　　我们由一个例子来了解mobius反演的作用。

　　求解ans=Σ(0<i<=n)Σ(0<j<=m)1(gcd(i,j)=1)即n,m范围中互质点对儿数。

　　我们设 F(x)为gcd(i,j)|x的点对儿数量，f(x)为gcd(i,j)=x的点对儿数量。那么易得F(x)=Σf(d) x|d，那么由第二形式可得f(x)=Σmiu(d)*F(d/x) x|d，那么这道题就是求f(1)，即f(1)=Σmiu(d)*F(d) d<=min(n,m)，比较显然的是F(x)=floor(n/d)*floor(m/d)。那么我们可以得到答案的形式

　　ans=Σmiu(i)*floor(n/i)*floor(m/i)。可以O(n)的求解。

　　但是对于某些问题，O(n)是无法在规定时间内完成的，我们考虑w=floor(n/i)*floor(m/i)，对于i递增，w为不减的，即存在连续段w值相同。那么我们可以求出mobius函数的前缀和，然后分块的来求解，我们找到w值相同的区间，即存在j，满足floor(n/j)=floor(n/i),floor(m/j)=floor(m/i)，那么j=min(floor(n/floor(n/i)),floor(m/floor(m/i)))，这样对于w相同的块儿一起处理就行了，这样时间复杂度就变成了O(sqrt(n))。

　　基础题bzoj 2301 http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=2301

这道题就是多了一个容斥定理求解，基本的思路和上面的相同，可以作为练手题。

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Problem: 2301
User: BLADEVIL
Language: Pascal
Result: Accepted
Time:34964 ms
Memory:1204 kb
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//By BLADEVIL
var
a, b, c, d, k, t                    :longint;
ans                                 :int64;
i                                   :longint;
prime, miu, mindiv                  :array[0..50010] of longint;
sum                                 :array[0..50010] of int64;

procedure make;
var
i, j                                :longint;
begin
miu[1]:=1;
for i:=2 to 50000 do
begin
if mindiv[i]=0 then
begin
inc(prime[0]);
prime[prime[0]]:=i;
mindiv[i]:=i;
miu[i]:=-1;
end;
for j:=1 to prime[0] do
begin
if i*prime[j]>50000 then break;
mindiv[i*prime[j]]:=prime[j];
if i mod prime[j]=0 then
begin
miu[i*prime[j]]:=0;
break;
end else
miu[i*prime[j]]:=-miu[i];
end;
end;
for i:=1 to 50000 do sum[i]:=sum[i-1]+miu[i];
end;

function calc(n,m:longint):longint;
var
t, t1, t2                           :int64;
i                                   :longint;
xx                                  :int64;
begin
calc:=0;
i:=1;
if n>m then xx:=m else xx:=n;
while i<=xx do
begin
t1:=n div (n div i);
t2:=m div (m div i);
if t1<t2 then t:=t1 else t:=t2;
calc:=calc+(sum[t]-sum[i-1])*(n div i)*(m div i);
i:=t+1;
end;
end;

begin
make;
readln(t);
for i:=1 to t do
begin
readln(a,b,c,d,k);
ans:=int64(calc(b div k,d div k))
-int64(calc((c-1) div k,b div k))
-int64(calc((a-1) div k,d div k))
+int64(calc((a-1) div k,(c-1) div k));
writeln(ans);
end;
end.