基于局部landmark的近似最短距离计算

1. 研究动机

1.1 问题计算思想

对于求最短距离问题，准确的方法需要的信息量比较大，使得在传统的方法中进行在线查询比较不灵活，所以我们只需计算它们的近似最短距离。现有方法的计算思想：

(1) 选取一些顶点作为地标标签；

(2) 存储每个顶点到所有地标标签的实际最短距离；

(3) 任意一对顶点(s, t)之间的距离D(s, t) = min{D(s, li)+D(li, t)}，其中li为第i个地标标签。

1.2 地标标签的选择

地标标签的选择存在的问题：

(1) 选取最优地标标签集合是NP-hard问题；

(2) 选取最小集合覆盖为NP-complete问题。

一下四种方法均可作为我们的地标标签的选择方案：

(1) Random selection

(2) Degree based selection

(3) Centrality based selection

(4) Coverage based selection

1.3 存在的问题

两个相距较近的顶点距所有的地标标签太远而造成误差过大。如下图所示，顶点l为地标标签，而当D(s, t) >>D(l, s) + D(l, t)时就会造成较大误差。

2. 改进方法

上述方法建立的标签成为全局地标标签，作者通过增加局部标签来降低错误率。计算思想：

(1) 选取若干顶点作为全局地标标签；

(2) 从每一个顶点出发建立最短路径生成树；

(3) 给定查询(s, t)，在生成树中计算结点s与结点t的LCA（最小公共祖先）；计算方法参考RMQ(RangeMinimum Query)；

(4) 查询点(s, t)之间的近似最短距离D(s, t) = min{D(s, li) + D(s, li) – 2D(lca, li)}，其中li为地标标签，lca为结点s与结点t的最小公共祖先。

优化1：压缩图

(1) 压缩Graph Incident Tree。GIT就是图中的树，如下图所示，红色区域内为一棵GIT树。对于该树只保留顶点a以及树中所有顶点到a的距离。



(2) 压缩Chain Nodes。如图所示，绿色部分为一个Chain Nodes。删除顶点i和j并存储顶点i和j到顶点h和k的距离。



优化2：local search

为了进一步减小错误率，将在查询点s和t到地标标签（包括全局和局部）上的所有顶点都向外扩展h步，若有交集且通过这些顶点使得s与t的距离变小，则最短距离更接近于真实值。



论文：Approximate Shortest Distance Computing: A Query-Dependent LocalLandmark Scheme