AdaBoost--从原理到实现

一.引入

对于Adaboost，可以说是久闻大名，据说在Deep Learning出来之前，SVM和Adaboost是效果最好的 两个算法，而Adaboost是提升树(boosting tree)，所谓“提升树”就是把“弱学习算法”提升(boost)为“强学习算法”(语自《统计学习方法》)，而其中最具代表性的也就是Adaboost了，貌似Adaboost的结构还和Neural Network有几分神似，我倒没有深究过，不知道是不是有什么干货

二.过程

（from PRML）

这就是Adaboost的结构，最后的分类器YM是由数个弱分类器（weak classifier）组合而成的,相当于最后m个弱分类器来投票决定分类，而且每个弱分类器的“话语权”α不一样。

这里阐述下算法的具体过程：

1.初始化所有训练样例的权重为1 / N,其中N是样例数

2.for m=1,……M:

a).训练弱分类器ym()，使其最小化权重误差函数（weighted error function）：




b)接下来计算该弱分类器的话语权α：




c)更新权重：




其中Zm：




是规范化因子，使所有w的和为1。(这里公式稍微有点乱)

3.得到最后的分类器：

三.原理

可以看到整个过程就是和最上面那张图一样，前一个分类器改变权重w，同时组成最后的分类器
如果一个训练样例 在前一个分类其中被误分，那么它的权重会被加重，相应地，被正确分类的样例的权重会降低
使得下一个分类器 会更在意被误分的样例，那么其中那些α和w的更新是怎么来的呢？
下面我们从前项分步算法模型的角度来看看Adaboost：
直接将前项分步加法模型具体到adaboost上：



其中 fm是前m个分类器的结合



此时我们要最小化E，同时要考虑α和yl，
但现在我们假设前m-1个α和y都已经fixed了：那么



其中

，可以被看做一个常量，因为它里面没有αm和ym：
接下来：



其中Tm表示正分类的集合，Mm表示误分类的集合，这一步其实就是把上面那个式子拆开，没什么复杂的东西
然后就是找ym了，就是最小化下式的过程，其实就是我们训练弱分类器



有了ym，α也就可以找了，然后继续就可以找到更新w的公式了(注意这里得到的w公式是没有加规范化因子Z的公式，为了计算方便我们加了个Z进去)
因为这里算出来直接就是上面过程里的公式，就不再赘述了，有兴趣你可以自己算一算

四.实现

终于到实现了，本次实现代码基本基于《统计学习方法》，比如有些符号(弱分类器是G(x),训练样例的目标是y而不是上文所述的t)差异
所有的代码你可以在我写的toy toolkit里面找到：DML (你都看到这了，给个star好不好

)

# coding: UTF-8
from __future__ import division
import numpy as np
import scipy as sp
from weakclassify import WEAKC
from dml.tool import sign
class ADABC:
	def __init__(self,X,y,Weaker=WEAKC):
		'''
			Weaker is a class of weak classifier
			It should have a 	train(self.W) method pass the weight parameter to train
								pred(test_set) method which return y formed by 1 or -1
			see detail in <统计学习方法>
		'''
		self.X=np.array(X)
		self.y=np.array(y)
		self.Weaker=Weaker
		self.sums=np.zeros(self.y.shape)
		self.W=np.ones((self.X.shape[1],1)).flatten(1)/self.X.shape[1]
		self.Q=0
		#print self.W
	def train(self,M=4):
		'''
			M is the maximal Weaker classification
		'''
		self.G={}
		self.alpha={}
		for i in range(M):
			self.G.setdefault(i)
			self.alpha.setdefault(i)
		for i in range(M):
			self.G[i]=self.Weaker(self.X,self.y)
			e=self.G[i].train(self.W)
			#print self.G[i].t_val,self.G[i].t_b,e
			self.alpha[i]=1/2*np.log((1-e)/e)
			#print self.alpha[i]
			sg=self.G[i].pred(self.X)
			Z=self.W*np.exp(-self.alpha[i]*self.y*sg.transpose())
			self.W=(Z/Z.sum()).flatten(1)
			self.Q=i
			#print self.finalclassifer(i),'==========='
			if self.finalclassifer(i)==0:

				print i+1," weak classifier is enough to  make the error to 0"
				break
	def finalclassifer(self,t):
		'''
			the 1 to t weak classifer come together
		'''
		self.sums=self.sums+self.G[t].pred(self.X).flatten(1)*self.alpha[t]
		#print self.sums
		pre_y=sign(self.sums)
		#sums=np.zeros(self.y.shape)
		#for i in range(t+1):
		#	sums=sums+self.G[i].pred(self.X).flatten(1)*self.alpha[i]
		#	print sums
		#pre_y=sign(sums)
		t=(pre_y!=self.y).sum()
		return t
	def pred(self,test_set):
		sums=np.zeros(self.y.shape)
		for i in range(self.Q+1):
			sums=sums+self.G[i].pred(self.X).flatten(1)*self.alpha[i]
			#print sums
		pre_y=sign(sums)
		return pre_y

看train里面的过程和上文 阐述的一模一样，finalclassifier()函数是用来判断是否已经无误分类的点 的
当然这里用的Weak Classifier是比较基础的Decision Stump，是根据x>v和x<v来分类的，这个代码稍微烦一点，就不贴到这里了，在DML里也有
先试验下《统计学习方法》里面那个最简单的例子：



可以看到也是三个分类器就没有误分点了，权值的选择也是差不多的
其中后面那个-1 表示大于threshold分为负类，小于分为正类。1则相反



加一些其它数据试试：



结果：



我们把图画出来就是：



基本还是正确的，这是四个子分类器的图，不是最后总分类器的图啊~~~
（实验的代码你也可以在DML里面找到，你都看到这了，给个star好不好~~~~~

）

Reference：

【1】 《Pattern Recognition And Machine Learning》
【2】 《统计学习方法》