线性代数导论24——马尔科夫矩阵、傅立叶级数

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
第二十四课时：马尔科夫矩阵、傅立叶级数

本讲讲解特征值的应用，马尔科夫矩阵理论，傅里叶级数（它是投影矩阵的巧妙应用）

马尔科夫矩阵
满足两条性质：1）所有元素大于等于0； 2）所有矩阵的列相加等于1。（这个性质保证了特征值为1,为什么？）



马尔科夫矩阵的幂都是马尔科夫矩阵。马尔科夫矩阵和概率思想有关联，它有如上性质都是与概率有关的。
考虑马尔科夫矩阵的特征值和特征向量。它的稳态，稳态是什么？特征值满足什么条件？ 实际上，稳态问题就是那个特征值的特征向量问题。

马尔科夫矩阵的特征值：
1）λ=1是它的一个特征值，它对应的特征向量x1的所有元素是非负值；
2）所有其他的特征值 |λi|<1；
那么，如下幂的稳态即c1x1，稳态是由特征值为1的特征向量决定的（因为从uk展开公式看稳态就是由特征向量决定的）。



为什么说矩阵的列相加等于1保证了有一个特征值为1？



假设已经有一个特征值为1，那么A-1I，马尔科夫矩阵平移一个单位矩阵，如果证明A-1I是奇异的，那么说明1确实是它的特征值。A-1I的矩阵每列元素相加为0，说明行向量线性组合能得到0，说明线性相关，奇异矩阵。向量(1 1 1)在其左零空间中，特征值为1的特征向量在其零空间（因为Ax1=x1，(A-I)x1=0）。
A和AT的特征值有什么关系？他们是相同的。因为矩阵AT 与A的行列式相等可以得证。



马尔科夫矩阵应用
A为马尔科夫矩阵，始终不变，表示两个州的人口迁移情况。总人数保持不变。时间t从k到k+1中，0.9的加州人留下+0.2的麻省迁移进来=现在的加州人。0.1的加州人迁移出去+0.8的麻省人留下=现在的麻省人。



考虑稳态。假设初始状态t=0时的人数，加州0个人，麻省1000个人。k步以后的人口变化是怎样的？解答这个问题，我们需要考虑A的特征值和特征向量。求解得到：λ1=1，x1=(2 1)；λ2=0.7，x2=(-1 1)。那么



求解得到c1=1000/3，c2=2000/3。

傅里叶级数
投影问题引出傅里叶级数
带有n个标准正交基的投影问题Qn×n，基向量q1,q2...qn，那么空间中任意向量v都可由这个标准正交基类线性组合得到：v=x1q1+x2q2+...+xnqn，现在要知道x1,或者x2是多少，可以用展开式来表达，将向量展开到标准正交基上去，这是在做投影，由于这组基是标准正交基，所以x1,x2..的求解有计算公式。求x1的时候将q1与式中任一一项做内积就能得到x1了。



这样v的展开式中每个基向量的系数就能求得了。也可以用矩阵形式来表示：



也就是Qx=v，x=Q-1v=QTv
傅里叶级数：
已知f(x)=a0+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+...，无穷维，但关键性质还是正交，正交性对sin和cos仍成立，这使得傅里叶级数有意义，这就是傅里叶级数。
傅里叶级数比较上面的向量空间的等式，是函数空间f(x)替换向量空间v，正交函数替换正交向量q1,q2...
这里函数正交的意义在于：两个函数的内积等于0。（用积分代替求和）



现在有了函数空间的无穷正交基，现在需要做的就是把函数展开到基上，需要求出系数a是多少。同向量空间的做法，等式左右两边同时乘以正交基分量，就可得到傅里叶级数系数公式。