Catalan 数

维基百科：

卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。

由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰
(1814–1894)命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862...

卡塔兰数的一般项公式为

，

另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1)；

原理：

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

通项公式：





例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)
应用：

1.矩阵相乘括号化：

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？

解法：

<?php
/*
 * from : czxttkl
 * url  : https://mail.google.com/mail/u/0/#inbox/14128abd0fcee658  * Dynamic Programming
 * 
 */
function T($n) {
	if(1 == $n)
		return $n;
	else {
		$max = 0;
		for($k = 1; $k < $n; $k++) {
			$max += T($k)*T($n-$k);
		}
		return $max;
	}
}

$re = T(4);
echo $re;

2.出栈次序问题

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

解法：

首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定，从开始到栈第一次出到空为止，这段过程中出栈的序数最大的是k。特别地，如果栈直到整个过程结束时才空，则k=n。首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n
- k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。

看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=0，1，2，……）。

类似问题：

　　(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

　　(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。

3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

　　类似问题：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

　　类似问题：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？

　　(先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + + h(n-1)h(0)=h(n))

参考：

1.http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0

2.http://blog.csdn.net/jtlyuan/article/details/7440591