堆排序

堆排序，原址：http://hi.baidu.com/taozpwater/item/3995214cd22a94e6a4c0664c

堆排序简介

1、简介

     1991年计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德(Robert W．Floyd)和威廉姆斯(J．Williams)在1964年共同发明了著名的堆排序算法( Heap Sort )。

     堆积排序（Heap sort）是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积树是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积属性：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

     大根堆和小根堆：根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为小根堆，又称最小堆。根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最大者，称为大根堆，又称最大堆。注意：①堆中任一子树亦是堆。②以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap)，类似地可定义k叉堆。






2、堆积树节点的访问

     通常堆积树(heap)是通过一维数组来实现的。在起始数组为 0 的情形中：

     1）堆积树的根节点（即堆积树的最大值）存放在数组位置 1 的地方;

　　注意：不使用位置 0，否则左子树永远为 0[2]

     2）父节点i的左子节点在位置 (2*i);

     3）父节点i的右子节点在位置 (2*i+1);

     4）子节点i的父节点在位置 floor(i/2);

 

3、算法

     在堆积树（大根堆）的数据结构中，堆积树中的最大值总是位于根节点。堆积树中定义以下几种操作：

     1）最大堆积调整（Max_Heapify）：将堆积树的末端子结点作调整,使得子结点永远小于父结点

     2）创建最大堆积（Build_Max_Heap）：将堆积树所有数据重新排序

     3）堆积排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根结点,并做最大堆积调整的递归运算

 

4、性能分析

     最差时间复杂度    O(nlogn)

     最优时间复杂度    O(nlogn)[1]

     平均时间复杂度    Θ(nlogn)

     最差空间复杂度    O(n) total, O(1) auxiliary

     最佳算法    不是

 

5、源码示例

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

 

const int HEAP_SIZE = 13; //堆積樹大小

 

int parent(int);

int left(int);

int right(int);

void Max_Heapify(int [], int, int);

void Build_Max_Heap(int []);

void print(int []);

void HeapSort(int [], int);

 

/*父結點*/

int parent(int i)

{

    return (int)(i / 2);

}

 

/*左子結點*/

int left(int i)

{

    return 2 * i;

}

 

/*右子結點*/

int right(int i)

{

    return (2 * i + 1);

}

 

/*單一子結點最大堆積樹調整*/

void Max_Heapify(int A[], int i, int heap_size)

{

    int l;

    int r;

 

    l = left(i+1) - 1;

    r = right(i+1) - 1;

 

    int largest;

    int temp;

    if(l < heap_size && A[l] > A[i])

    {

        largest = l;

    }

    else

    {

        largest = i;

    }

    if(r < heap_size && A[r] > A[largest])

    {

        largest = r;

    }

    if(largest != i)

    {

        temp = A[i];

        A[i] = A[largest];

        A[largest] = temp;

        Max_Heapify(A, largest, heap_size);

    }

}

 

/*建立最大堆積樹*/

void Build_Max_Heap(int A[])

{

    for(int i = HEAP_SIZE/2; i >= 0; i--)

    {

        Max_Heapify(A, i, HEAP_SIZE);

    }

}

 

/*印出樹狀結構*/

void print(int A[])

{

    for(int i = 0; i < HEAP_SIZE;i++)

    {

        printf("%d ", A[i]);

    }

    printf("\n");

}

 

/*堆積排序程序碼*/

void HeapSort(int A[], int heap_size)

{

    Build_Max_Heap(A);

    int temp;

    for(int i = heap_size - 1; i > 0; i--)

    {

        temp = A[0];

        A[0] = A[i];

        A[i] = temp;

        Max_Heapify(A, 0, i);

    }

    print(A);

}

 

/*輸入資料並做堆積排序*/

int main(int argc, char* argv[])

{

    int A[HEAP_SIZE] = {19, 1, 10, 14, 16, 4, 7, 9, 3, 2, 8, 5, 11};

    HeapSort(A, HEAP_SIZE);

    system("pause");

    return 0;

}