从排序开始（四）快速排序

快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种使用分治法（Divide and conquer）策略的排序算法。

它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

基本步骤为：

1、从数列中挑出一个元素，称为 "基准"

2、重新排序数列，所有比基准值小的元素摆放在基准前面，所有比基准值大的元素摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。

3、递归地把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

下面的图解是基于交换值的实现方法，后面我们的实现是另一种方法：



最差时间复杂度： O(n^2)

最优时间复杂度： O([b]n logn)[/b]

平均时间复杂度： O(n logn)

最差空间复杂度： 最好是O(log n)

稳定性：不稳定

快速排序的时间主要耗费在划分操作上，对长度为k的区间进行划分，共需k-1次关键字的比较。

最坏情况是每次划分选取的基准都是当前无序区中关键字最小(或最大)的记录，划分的结果是基准左边的子区间为空(或右边的子区间为空)，而划分所得的另一个非空的子区间中记录数目，仅仅比划分前的无序区中记录个数减少一个。时间复杂度为O(n*n)

在最好情况下，每次划分所取的基准都是当前无序区的"中值"记录，划分的结果是基准的左、右两个无序子区间的长度大致相等。总的关键字比较次数：O(nlgn)

优化：

一种比较常见的优化方法是随机化算法，即随机选取一个元素作为主元。这种情况下虽然最坏情况仍然是O(n^2），但最坏情况不再依赖于输入数据，而是由于随机函数取值不佳。实际上，随机化快速排序得到理论最坏情况的可能性仅为 1/(2^n）。所以随机化快速排序可以对于绝大多数输入数据达到O(n logn）的期望时间复杂度。

已优化实现：

#include <iostream>

using namespace std;
 
void quickSort(int num[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;
	
	//实现随机选取基数,即随机选一个数并和最左端的数交换
	int k = rand()%(r - l + 1) + l; 
	int t = num[k];
	num[k]  = num[l];
	num[l] = t;

    int i = l, j = r, key = num[l];
    while (i < j)
    {
		//从右向左找第一个小于key的数
        while(i < j && num[j] >= key)
		    j--;  
        if(i < j) 
			num[i++] = num[j];
		
		// 从左向右找第一个大于等于key的数
        while(i < j && num[i] < key)
			i++;  
        if(i < j) 
			num[j--] = num[i];
    }
    num[i] = key;

	//分治，递归
    quickSort(num, l, i - 1); 
    quickSort(num, i + 1, r);
}
 
//简单测试
int main() {
 
    int n;
	while(cin>>n,n)
	{
		int *p = new int
;
		for( int i = 0;i<n;++i)
			p[i] = rand()%200;
		quickSort(p,0,n-1);
		for(int i=0;i<n;++i)
			cout<<p[i]<<' ';
		cout<<endl;
		delete []p;
	}
    return 0;
}

再优化：

其实上面的while循环里面“从右向左找第一个小于key的数”是不好的，想一想，如果输入数据都是 一样的，那么这个算法就会退化成 O(n^2)，这是无法接受的！所以，我们要改为“从右向左找第一个小于等于key的数”，也就是判断条件从 while(i < j && num[j] >= key) 改为 while(i < j && num[j] > key) ，去掉等于号！

另外，如果需要排序的数据量很小，那么插入排序是很快的，甚至于在 STL 的 sort 算法和 stdlib 的 qsort 算法中，都将插入排序作为快速排序的补充，用于少量元素的排序（通常为8个或以下）。我们加入一个 <8 的判断条件，如果小于8，那么采用插入排序。

void quickSort(int num[], int l, int r)
    {
        if(l >= r) return;

        int k = l + rand()%(r-l+1);
        int t = num[k];
        num[k] = num[l];
        num[l] = t;

        if(r - l + 1 < 8){
            for(int i = l+1;i <= r;++i)
                if(num[i] < num[i-1])
                {
                    int j,t = num[i];
                    for(j = i-1;j >= 0 && num[j] > t;j--)
                        num[j+1] = num[j];
                    num[j+1] = t;
                }
            return;
        }

        int i = l,j = r,key = num[l];
        while(i < j)
        {
            while(i < j && num[j] > key)
                j--;
            if(i < j) num[i++] = num[j];

            while(i < j && num[i] < key)
                i++;
            if(i < j) num[j--] = num[i];
        }
        num[i] = key;

        quickSort(num,l,i-1);
        quickSort(num,i+1,r);
    }