堆排序练习（证明）

堆排序练习（证明）

关于堆排序的具体介绍和C代码实现见该链接。

算导关于堆排序的练习主要是一些证明，可以帮助理解堆的特征。部分练习是图示过程，这些练习认真用笔过一次会很有收获。

1.在高度为h的堆中，最多和最少的元素个数是多少？

最多：底层全满；1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^h，等比数列求和得2^(h+1) - 1

最少：底层只有一个节点；1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^(h-1) + 1，等比数列求和得2^h - 1 + 1 = 2^h

2.证明：含n个元素的堆的高度为floor(lgn)

假设n个元素的堆的高度为h。由上题得2^h <= n <= 2^(h+1) - 1，因此h <= lgn < h+1。

根据floor 和 ceiling 函数的性质 View Code
void min_heapify(int A[], int length, int i){
int l = 2 * i;
int r = 2 * i + 1;
int smallest;

if(l <= length && A[l] < A[i])
smallest = l;
else
smallest = i;
if(r <= length && A[r] < A[smallest])
smallest = r;

if(smallest != i){
int temp = A[smallest];
A[smallest] = A[i];
A[i] = temp;
min_heapify(A, length, smallest);
}
}

6.将max_heapify()函数的递归调用改为迭代结构，使效率提高。

View Code
void max_heapify(int A[], int length, int i){
int l, r;
int largest, temp;
while(i <= length){
l = 2 * i;
r = 2 * i + 1;

if(l <= length && A[l] > A[i])
largest = l;
else
largest = i;
if(r <= length && A[r] > A[largest])
largest = r;

if(largest != i){
temp = A[largest];
A[largest] = A[i];
A[i] = temp;
i = largest;
}
else
break;
}
}