hdu 4697 Convex hull 对移动的凸包积分 利用叉积的分配率 (2013多校联合)

题意：对移动的凸包积分， 给你点数n和时间T，0时刻的点为p，每个点的速度(用向量给出)为v，

问你每单位时间的平均面积。

思路：对于这类题目，应该很容易想到把时间分段分别求凸包。

1. 所以我们先求出所有时间点，即点集中有三点共线的时候，就是一个时间点。

    对于i，j，k三个点共线，那么用叉积可以列出一个关于时间t的一元二次方程（可能a==0），

    解出所有时间点即可。这里要注意技巧，很容易证明叉积是满足分配率的，

    所以你在结构体point中定义一个叉乘运算，对于求方程的系数是非常方便而且不容易出错。

    当然对于时间0和T也算一个时间点

 2. 枚举所有相邻时间段，取时间段中的中间时间，对这一时刻求一次凸包，

     算出当前时间在凸包上的点。然后我们用这些点求面积，面积是一个关于时间t的函数

     为a*x^2+b*x+c，求面积的方法：以某个凸包上的点为中心，枚举所有相邻的两点做叉积， 

     跟求时间点的时候的方程类似，累加系数a，b，c。积分得a/3*x^3+b/2*x^2+c*x,

     把两端时间代入相减累加到答案中。注意这里的面积是有向面积，这点坑了我好久。

灵活运用叉积的分配率可以很快地解决此题。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double eps = 1e-9;
inline int dcmp(double x) {
if (fabs(x) < eps)
return 0;
return x > eps ? 1 : -1;
}
struct point {
double x, y;
int id;
inline void in(int i) {
scanf("%lf%lf", &x, &y);
id = i;
}
point(double x = 0, double y = 0) :
x(x), y(y) {
}
inline point operator -(const point &t) const {
return point(x - t.x, y - t.y);
}
inline point operator +(const point &t) const {
return point(x + t.x, y + t.y);
}
point operator /(const double &t) const {
return point(x / t, y / t);
}
point operator *(const double &t) const {
return point(x * t, y * t);
}
inline double operator *(const point &t) const {			//叉乘
return x*t.y-y*t.x;
}
bool operator <(const point &t) const {
if(y == t.y) return x < t.x;
return y < t.y;
}
}p[55], v[55], tp[55], st[55];
double t[55*55*55], T, cur, ans;
int sz, n, m;
double a, b, c;
inline double cross(const point &o, const point &a, const point &b) {
return (a.x-o.x)*(b.y-o.y)-(a.y-o.y)*(b.x-o.x);
}

int graham(point *p, int n, point *st) {		//凸包
sort(p, p + n);
int top = 0;
int i;
for (i = 0; i < n; i++) {
while (top >= 2 && cross(st[top - 2], st[top - 1], p[i]) < eps)
top--;
st[top++] = p[i];
}
int t = top + 1;
for (i = n - 2; i >= 0; i--) {
while (top >= t && cross(st[top - 2], st[top - 1], p[i]) < eps)
top--;
st[top++] = p[i];
}
return top;
}

inline void gao(int i, int j, int k) {		//计算系数的函数
point a1 = p[i]-p[j], a2 = p[i]-p[k];
point b1 = v[i]-v[j], b2 = v[i]-v[k];
a += b1*b2; b += a1*b2+b1*a2; c += a1*a2;
}
inline void solve(double a, double b, double c) {	//解方程，注意a==0的情况
double x;
if(a == 0) {
if(b!= 0) {
x = -c/b;
if(x >= 0 && x <= T) t[sz++] = x;
}
return;
}
double dlt = b*b-4*a*c;
if(dlt < 0) return;
if(dlt == 0) {
x = -b*0.5/a;
if(x >= 0 && x <= T) t[sz++] = x;
return;
}
dlt = sqrt(dlt);
x = 0.5*(-b+dlt)/a;
if(x >= 0 && x <= T) t[sz++] = x;
x = 0.5*(-b-dlt)/a;
if(x >= 0 && x <= T) t[sz++] = x;
}

inline double F(double x) {		//积分求值函数
return a*x*x*x/3.0+b*x*x/2.0+c*x;
}
int main() {
int i, j, k;
while( ~scanf("%d%lf", &n, &T)) {
for(i = 0; i < n; i++) p[i].in(i), v[i].in(i);
if(n <= 2) {
printf("%.10f\n", 0.0);
continue;
}
t[0] = 0; t[1] = T;	//处理出所有时间点
sz = 2;
for(i = 0; i < n; i++)
for(j = i+1; j < n; j++)
for(k = j+1; k < n; k++) {
a = b = c = 0;
gao(i, j, k);
solve(a, b, c);
}
sort(t, t+sz);
ans = 0;
for(i = 0; i < sz-1; i++) { //枚举相邻时间段
cur = 0.5*(t[i]+t[i+1]);
a = b = c = 0;
for(j = 0; j < n; j++) {
tp[j] = p[j]+v[j]*cur;
tp[j].id = p[j].id;
}
m = graham(tp, n, st);//凸包求出该时间段在凸包上的点
for(j = 2; j < m; j++)
gao(st[0].id, st[j-1].id, st[j].id);	//求系数
ans += F(t[i+1])- F(t[i]);//手动积分算面积
}
printf("%.10f\n", fabs(ans*0.5/T));
}
return 0;
}