多重背包问题：悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在，感恩生活（HDU 2191）(二进制优化)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int dp[10005],a[10005],b[10005],c[10005];
int main()
{
int t,n,m;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=1;j<=c[i];j++)
for(int k=m;k>=a[i];k--)
if(dp[k]<dp[k-a[i]]+b[i])
dp[k]=dp[k-a[i]]+b[i];
printf("%d\n",dp[m]);
}
return 0;
}

在这之前，我空间好像转过一个背包九讲，现在我就只对
01背包和多重背包有点印象了

先说下 01 背包，有n 种不同的物品，每个物品有两个属性
size 体积，value 价值，现在给一个容量为 w 的背包，问
最多可带走多少价值的物品。

int f[w+1];   //f[x] 表示背包容量为x 时的最大价值
for (int i=0; i<n; i++)
for (int j=w; j>=size[i]; j++)
f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);

如果物品不计件数，就是每个物品不只一件的话，稍微改下即可
for (int i=0; i<n; i++)
for (int j=size[i]; j<=w; j++)
f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);

f[w] 即为所求

初始化分两种情况
1、如果背包要求正好装满则初始化 f[0] = 0, f[1~w] = -INF;
2、如果不需要正好装满 f[0~v] = 0;

多重背包问题要求很简单，就是每件物品给出确定的件数，求
可得到的最大价值

多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数C 用
分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C
的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可
以用数字的二进制形式来解释
比如：7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以
组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数
15 = 1111 可分解成 0001  0010  0100  1000 四个数字
如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成
7以内任意一个数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于13
的数，虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种
思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。

看代码：
int n;  //输入有多少种物品
int c;  //每种物品有多少件
int v;  //每种物品的价值
int s;  //每种物品的尺寸
int count = 0; //分解后可得到多少种物品
int value[MAX]; //用来保存分解后的物品价值
int size[MAX];  //用来保存分解后物品体积

scanf("%d", &n);    //先输入有多少种物品，接下来对每种物品进行分解

while (n--) {   //接下来输入n中这个物品
scanf("%d%d%d", &c, &s, &v);  //输入每种物品的数目和价值
for (int k=1; k<=c; k<<=1) { //<<右移 相当于乘二
value[count] = k*v;
size[count++] = k*s;
c -= k;
}
if (c > 0) {
value[count] = c*v;
size[count++] = c*s;
}
}

现在用count 代替 n 就和01 背包问题完全一样了

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int dp[105],a1[1005],b1[1005];//数组开大点
int main()
{
int cout1,t,n,m,a,b,c,i,j,k;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
cout1=0;
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
for(k=1;k<=c;k<<=1)
{
a1[cout1]=k*a;
b1[cout1++]=k*b;
c-=k;
}
if(c>0)
{
a1[cout1]=c*a;
b1[cout1++]=c*b;
}
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=0;i<cout1;i++)
for(j=n;j>=a1[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-a1[i]]+b1[i]);
printf("%d\n",dp
);
}
return 0;
}